Mọi người ơi giúp e với Câu 1: Bảng bên biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm vế chiều cao của 42 mẫu,cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét). Tính khoảng tứ phân vị ]40 : 45) 5 5,của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần 145 : 50) AS,chục). ]50 ; 55) 22.,Câu 2: Một người bơm nước vào một bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích 31,nước bơm được sau t giây. Cho $h^\prime(t)=6at^2+2bt$ và ban đầu bể [60 ; 65) 38,[65 ; 70) 42,không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90~m^3,$ sau 6,giây thì thể tích nước trong bể là $504~m^3.$ Tính thể tích nước trong bể,sau khi bơm được 9 giây.,Câu 3: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt,$E(0;0;6)$ và các điểm tiếp xúc vối mặt đất của ba chân lần lượt,,là $A_1(0;1;0),A_2(\frac{\sqrt3}2;-\frac12;0),A_3(-\frac{\sqrt3}2;-\frac12;0).$ Biết rằng trọng,lượng của chiếc máy là 300 . Tìm được tọa độ của các lực tácc,dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ khi đó tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}$ bằng?,(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),Câu 4: Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến,trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà,,Nội. sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét,một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sử đặc hình dạng là một nửa,khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là:,dài x rộng: 660x 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới). Lavabo,có độ dày đều là 20 mm. Tính thể tích chứa nước của Lavabo?,(Kết qua làm tròn đến hàng phần chục),Câu 5: Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến,,và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng,khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải,lí/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu,A với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu thì,khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất? (Kết quả,làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 6: Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis.,Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí,thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ,hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng,một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Question

Mọi người ơi giúp e với Câu 1: Bảng bên biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm vế chiều cao của 42 mẫu,cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét). Tính khoảng tứ phân vị ]40 : 45) 5 5,của mẫu số liệu ghép nhóm đó (làm tròn kết quả đến hàng phần 145 : 50) AS,chục). ]50 ; 55) 22.,Câu 2: Một người bơm nước vào một bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích 31,nước bơm được sau t giây. Cho $h^\prime(t)=6at^2+2bt$ và ban đầu bể [60 ; 65) 38,[65 ; 70) 42,không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là $90~m^3,$ sau 6,giây thì thể tích nước trong bể là $504~m^3.$ Tính thể tích nước trong bể,sau khi bơm được 9 giây.,Câu 3: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt,$E(0;0;6)$ và các điểm tiếp xúc vối mặt đất của ba chân lần lượt,

,là $A_1(0;1;0),A_2(\frac{\sqrt3}2;-\frac12;0),A_3(-\frac{\sqrt3}2;-\frac12;0).$ Biết rằng trọng,lượng của chiếc máy là 300 . Tìm được tọa độ của các lực tácc,dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ khi đó tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}$ bằng?,(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),Câu 4: Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến,trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà,

,Nội. sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét,một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sử đặc hình dạng là một nửa,khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là:,dài x rộng: 660x 380 mm (tham khảo hình vẽ bên dưới). Lavabo,có độ dày đều là 20 mm. Tính thể tích chứa nước của Lavabo?,(Kết qua làm tròn đến hàng phần chục),Câu 5: Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến,

,và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng,khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải,lí/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu,A với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu thì,khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất? (Kết quả,làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 6: Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis.,Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí,thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ,hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng,một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Accepted Answer

Câu 1:
Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba).

Bước 1: Xác định tổng số mẫu số liệu.
Tổng số mẫu số liệu là 42.

Bước 2: Xác định vị trí của Q1 và Q3.
- Vị trí của Q1 là $\frac{42 + 1}{4} = 10,75$. Do đó, Q1 nằm trong khoảng từ mẫu số liệu thứ 10 đến mẫu số liệu thứ 11.
- Vị trí của Q3 là $3 \times \frac{42 + 1}{4} = 32,25$. Do đó, Q3 nằm trong khoảng từ mẫu số liệu thứ 32 đến mẫu số liệu thứ 33.

Bước 3: Xác định các khoảng nhóm chứa Q1 và Q3.
- Khoảng nhóm chứa Q1 là [40; 45) vì mẫu số liệu thứ 10 và 11 nằm trong khoảng này.
- Khoảng nhóm chứa Q3 là [50; 55) vì mẫu số liệu thứ 32 và 33 nằm trong khoảng này.

Bước 4: Tính giá trị của Q1 và Q3.
- Q1 = 40 + $\frac{(10,75 - 5)}{15} \times 5 = 40 + \frac{5,75}{15} \times 5 = 40 + 1,9167 = 41,92$ (làm tròn đến hàng phần mười).
- Q3 = 50 + $\frac{(32,25 - 37)}{22} \times 5 = 50 + \frac{-4,75}{22} \times 5 = 50 - 1,0795 = 48,92$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị.
Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 48,92 - 41,92 = 7,00.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 7,00 (cm).

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm số $ h(t) $:
   - Biết rằng $ h'(t) = 6at^2 + 2bt $. 
   - Ta cần tìm $ h(t) $ bằng cách tích phân $ h'(t) $:
     $$
     h(t) = \int (6at^2 + 2bt) \, dt = 2at^3 + bt^2 + C
     $$
   - Ban đầu bể không có nước, tức là $ h(0) = 0 $. Do đó, $ C = 0 $. Vậy:
     $$
     h(t) = 2at^3 + bt^2
     $$

2. Xác định các tham số $ a $ và $ b $:
   - Biết rằng sau 3 giây, thể tích nước trong bể là 90 m³:
     $$
     h(3) = 2a(3)^3 + b(3)^2 = 54a + 9b = 90
     $$
   - Biết rằng sau 6 giây, thể tích nước trong bể là 504 m³:
     $$
     h(6) = 2a(6)^3 + b(6)^2 = 432a + 36b = 504
     $$

3. Lập hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   54a + 9b = 90 \
   432a + 36b = 504
   \end{cases}
   $$

4. Giải hệ phương trình:
   - Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 4:
     $$
     108a + 9b = 126
     $$
   - Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ nhất:
     $$
     (108a + 9b) - (54a + 9b) = 126 - 90 \
     54a = 36 \
     a = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}
     $$
   - Thay $ a = \frac{2}{3} $ vào phương trình $ 54a + 9b = 90 $:
     $$
     54 \left(\frac{2}{3}\right) + 9b = 90 \
     36 + 9b = 90 \
     9b = 54 \
     b = 6
     $$

5. Viết lại hàm số $ h(t) $:
   $$
   h(t) = 2 \left(\frac{2}{3}\right) t^3 + 6t^2 = \frac{4}{3} t^3 + 6t^2
   $$

6. Tính thể tích nước sau 9 giây:
   $$
   h(9) = \frac{4}{3}(9)^3 + 6(9)^2 = \frac{4}{3}(729) + 6(81) = 972 + 486 = 1458
   $$

Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây là $ 1458 \, m^3 $.

Câu 3:
Để tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ và tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các vectơ từ điểm đặt E đến các điểm tiếp xúc A1, A2, A3

- Vectơ $\overrightarrow{EA_1}$:
  $$
  \overrightarrow{EA_1} = A_1 - E = (0, 1, 0) - (0, 0, 6) = (0, 1, -6)
  $$

- Vectơ $\overrightarrow{EA_2}$:
  $$
  \overrightarrow{EA_2} = A_2 - E = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) - (0, 0, 6) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -6\right)
  $$

- Vectơ $\overrightarrow{EA_3}$:
  $$
  \overrightarrow{EA_3} = A_3 - E = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right) - (0, 0, 6) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -6\right)
  $$

Bước 2: Xác định các vectơ lực tác dụng lên giá đỡ

Các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ sẽ cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{EA_1}, \overrightarrow{EA_2}, \overrightarrow{EA_3}$ và tổng của chúng phải bằng trọng lượng của máy (300).

Do đó, ta có:
$$
\overrightarrow{F_1} = k_1 \overrightarrow{EA_1}
$$
$$
\overrightarrow{F_2} = k_2 \overrightarrow{EA_2}
$$
$$
\overrightarrow{F_3} = k_3 \overrightarrow{EA_3}
$$

Trong đó, $k_1 + k_2 + k_3 = 300$.

Bước 3: Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2}$

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là:
$$
\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = (k_1 \overrightarrow{EA_1}) \cdot (k_2 \overrightarrow{EA_2})
$$

Ta tính $\overrightarrow{EA_1} \cdot \overrightarrow{EA_2}$ trước:
$$
\overrightarrow{EA_1} \cdot \overrightarrow{EA_2} = (0, 1, -6) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -6\right)
$$
$$
= 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + (-6) \cdot (-6)
$$
$$
= 0 - \frac{1}{2} + 36
$$
$$
= 35.5
$$

Vậy:
$$
\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = k_1 k_2 \cdot 35.5
$$

Bước 4: Kết luận

Do không biết giá trị cụ thể của $k_1$ và $k_2$, ta chỉ có thể tính tích vô hướng dựa trên biểu thức trên. Tuy nhiên, nếu giả sử $k_1 = k_2 = k_3 = 100$ (để đơn giản hóa), ta có:
$$
\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{F_2} = 100 \cdot 100 \cdot 35.5 = 35500
$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là 35500.

Đáp số: 35500

Câu 4:
Để tính thể tích chứa nước của Lavabo, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định thông số của hình elip:
   - Chiều dài (2a) = 660 mm
   - Chiều rộng (2b) = 380 mm

Do đó:
   - Bán kính dài (a) = 660 / 2 = 330 mm
   - Bán kính rộng (b) = 380 / 2 = 190 mm

2. Tính thể tích của khối elip tròn xoay:
   Công thức tính thể tích của khối elip tròn xoay là:
   $$
   V = \frac{4}{3} \pi a b^2
   $$

Thay các giá trị vào công thức:
   $$
   V = \frac{4}{3} \pi \times 330 \times 190^2
   $$
   $$
   V = \frac{4}{3} \pi \times 330 \times 36100
   $$
   $$
   V = \frac{4}{3} \pi \times 11913000
   $$
   $$
   V = \frac{47652000}{3} \pi
   $$
   $$
   V \approx 49896000 \text{ mm}^3
   $$

3. Chuyển đổi thể tích từ mm³ sang lít:
   1 lít = 1000 cm³ = 1 000 000 mm³

$$
   V \approx \frac{49896000}{1000000} \text{ lít}
   $$
   $$
   V \approx 49.9 \text{ lít}
   $$

4. Xác định thể tích chứa nước của Lavabo:
   Vì Lavabo là một nửa khối elip tròn xoay, nên thể tích chứa nước của Lavabo là:
   $$
   V_{\text{Lavabo}} = \frac{1}{2} \times 49.9 \text{ lít}
   $$
   $$
   V_{\text{Lavabo}} \approx 24.95 \text{ lít}
   $$

5. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục:
   $$
   V_{\text{Lavabo}} \approx 25.0 \text{ lít}
   $$

Đáp số: Thể tích chứa nước của Lavabo là 25.0 lít.

Câu 5:
Gọi vận tốc của tàu A là $ v_A $ và vận tốc của tàu B là $ v_B $. Ta có:
$$ v_A = 6 \text{ hải lí/giờ} $$
$$ v_B = 7 \text{ hải lí/giờ} $$

Gọi khoảng thời gian từ khi bắt đầu cho đến khi khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất là $ t $ giờ.

Trong khoảng thời gian $ t $ giờ, tàu A đã đi được:
$$ d_A = v_A \cdot t = 6t \text{ hải lí} $$

Tàu B cũng đã đi được:
$$ d_B = v_B \cdot t = 7t \text{ hải lí} $$

Khoảng cách ban đầu giữa hai tàu là 5 hải lí. Khi tàu B di chuyển về phía tàu A, khoảng cách giữa chúng sẽ giảm dần. Khi khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất, tàu B sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa điểm xuất phát của tàu A và điểm hiện tại của tàu A.

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách giữa hai tàu sau $ t $ giờ. Gọi khoảng cách giữa hai tàu sau $ t $ giờ là $ d(t) $.

Theo định lý Pythagoras:
$$ d(t) = \sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2} $$

Để tìm giá trị của $ t $ sao cho $ d(t) $ bé nhất, ta tính đạo hàm của $ d(t) $ và đặt nó bằng 0.

$$ d(t) = \sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2} $$

Đạo hàm của $ d(t) $:
$$ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2}} \cdot [2(5 - 6t)(-6) + 2(7t)(7)] $$
$$ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2}} \cdot [-12(5 - 6t) + 14(7t)] $$
$$ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2}} \cdot [-60 + 72t + 98t] $$
$$ d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(5 - 6t)^2 + (7t)^2}} \cdot [170t - 60] $$

Đặt $ d'(t) = 0 $:
$$ 170t - 60 = 0 $$
$$ 170t = 60 $$
$$ t = \frac{60}{170} $$
$$ t = \frac{6}{17} \approx 0.35 \text{ giờ} $$

Vậy sau khoảng thời gian $ t \approx 0.35 $ giờ, khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất.

Đáp số: 0.35 giờ.

Câu 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán chi phí hoạt động của công ty dựa trên số lượng máy móc sử dụng và thời gian hoạt động của chúng. Chúng ta sẽ tìm số máy móc tối ưu để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Bước 1: Xác định các thông số:
- Tổng số quả bóng cần sản xuất: 8000 quả.
- Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ.
- Chi phí thiết lập mỗi máy: 200 nghìn đồng.
- Chi phí giám sát mỗi giờ: 192 nghìn đồng.

Bước 2: Xác định thời gian hoạt động của máy móc:
Giả sử công ty sử dụng $ n $ máy móc. Thời gian hoạt động của mỗi máy để sản xuất đủ 8000 quả bóng là:
$$ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ giờ} $$

Bước 3: Tính tổng chi phí hoạt động:
Chi phí thiết lập $ n $ máy móc là:
$$ C_{\text{thiết lập}} = 200n \text{ nghìn đồng} $$

Chi phí giám sát trong thời gian hoạt động của $ n $ máy móc là:
$$ C_{\text{giám sát}} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} $$

Tổng chi phí hoạt động là:
$$ C_{\text{tổng}} = 200n + \frac{51200}{n} \text{ nghìn đồng} $$

Bước 4: Tìm giá trị $ n $ để chi phí hoạt động là thấp nhất:
Để tìm giá trị $ n $ tối ưu, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu của hàm số $ C_{\text{tổng}} $.

$$ f(n) = 200n + \frac{51200}{n} $$

Tính đạo hàm của $ f(n) $:
$$ f'(n) = 200 - \frac{51200}{n^2} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
$$ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 $$
$$ 200 = \frac{51200}{n^2} $$
$$ n^2 = \frac{51200}{200} $$
$$ n^2 = 256 $$
$$ n = 16 $$

Bước 5: Kiểm tra giá trị $ n = 16 $ để đảm bảo nó là điểm cực tiểu:
$$ f''(n) = \frac{d}{dn}\left(200 - \frac{51200}{n^2}\right) = \frac{102400}{n^3} $$

Khi $ n = 16 $:
$$ f''(16) = \frac{102400}{16^3} = \frac{102400}{4096} = 25 > 0 $$

Vì đạo hàm bậc hai dương tại $ n = 16 $, nên $ n = 16 $ là điểm cực tiểu.

Kết luận: Công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất.