Hsjshvwnwv

Câu 24. Để xác định phương trình đường thẳng không song song với đường thẳng \( d: y = 3x - 2 \), ta cần kiểm tra hệ số góc của mỗi phương trình đã cho. Nếu hệ số góc của một phương trình khác với hệ số góc của đường thẳng \( d \), thì phương trình đó sẽ không song song với đường thẳng \( d \). Hệ số góc của đường thẳng \( d \) là 3. Ta lần lượt kiểm tra các phương trình đã cho: A. \( -3x + y = 0 \) Chuyển về dạng \( y = mx + n \): \( y = 3x \) Hệ số góc \( m = 3 \). Phương trình này song song với đường thẳng \( d \). B. \( 3x - y - 6 = 0 \) Chuyển về dạng \( y = mx + n \): \( y = 3x - 6 \) Hệ số góc \( m = 3 \). Phương trình này song song với đường thẳng \( d \). C. \( 3x - y + 6 = 0 \) Chuyển về dạng \( y = mx + n \): \( y = 3x + 6 \) Hệ số góc \( m = 3 \). Phương trình này song song với đường thẳng \( d \). D. \( 3x + y - 6 = 0 \) Chuyển về dạng \( y = mx + n \): \( y = -3x + 6 \) Hệ số góc \( m = -3 \). Phương trình này không song song với đường thẳng \( d \). Vậy phương trình không song song với đường thẳng \( d \) là: \[ D.~3x + y - 6 = 0 \] Câu 25. Để xác định các đường thẳng song song hoặc vuông góc với nhau, ta cần so sánh các hệ số góc của chúng. Các đường thẳng được cho là: \[ d_1: y = \frac{3}{\sqrt{3}}x - 2 \] \[ d_2: y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1 \] \[ d_3: y = -(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})x + 2 \] \[ d_4: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 1 \] Ta rút gọn các hệ số góc: \[ d_1: y = \sqrt{3}x - 2 \quad (\text{vì } \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}) \] \[ d_2: y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1 \quad (\text{vì } \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}) \] \[ d_3: y = -(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})x + 2 \quad (\text{vì } 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}) \] \[ d_4: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 1 \] Bây giờ, ta so sánh các hệ số góc: - Hệ số góc của \(d_1\) là \(\sqrt{3}\) - Hệ số góc của \(d_2\) là \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) - Hệ số góc của \(d_3\) là \(-\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\) - Hệ số góc của \(d_4\) là \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) Nhận thấy rằng: - \(d_2\) và \(d_4\) có cùng hệ số góc là \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), do đó chúng song song với nhau. Vậy khẳng định đúng là: \[ B.~d_2 \text{ và } d_4 \text{ song song với nhau.} \] Câu 26. Để xác định đường thẳng song song với đường thẳng \(d: x - 2y - 1 = 0\), ta cần tìm đường thẳng có cùng hệ số góc với đường thẳng \(d\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x - 2y - 1 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\). Từ đây, ta thấy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{1}{2}\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án để tìm đường thẳng có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\): A. \(x + 2y + 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(2y = -x - 1\) - \(y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\) - Hệ số góc là \(-\frac{1}{2}\), không phải \(\frac{1}{2}\). B. \(2x - y = 0\) - Viết lại phương trình: \(y = 2x\) - Hệ số góc là \(2\), không phải \(\frac{1}{2}\). C. \(-x + 2y + 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(2y = x - 1\) - \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\) - Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\), đúng. D. \(-2x + 4y - 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(4y = 2x + 1\) - \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\) - Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\), đúng. Như vậy, cả hai phương án C và D đều có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\) với đường thẳng \(d\). Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có một đáp án đúng. Do đó, ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc các phương án đã cho để đảm bảo tính chính xác. Từ các bước trên, ta thấy rằng cả hai phương án C và D đều có thể là đáp án đúng. Tuy nhiên, nếu chỉ có một đáp án đúng thì ta nên chọn phương án C vì nó gần giống với phương trình ban đầu hơn. Đáp án: C. \(-x + 2y + 1 = 0\). Câu 27. Để tìm góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng $\Delta_1$: Đường thẳng $\Delta_1$ đã cho là: \[ \Delta_1: x - 2y + 15 = 0 \] 2. Xác định phương trình đường thẳng $\Delta_2$: Đường thẳng $\Delta_2$ được cho dưới dạng tham số: \[ \Delta_2: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 4 + 2t \end{array} \right. \] Ta chuyển đổi phương trình tham số này thành phương trình đại số: \[ x = 2 - t \implies t = 2 - x \] Thay vào phương trình của $y$: \[ y = 4 + 2(2 - x) = 4 + 4 - 2x = 8 - 2x \] Vậy phương trình đường thẳng $\Delta_2$ là: \[ \Delta_2: y = 8 - 2x \] 3. Tìm góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng được xác định thông qua hệ số góc của chúng. Ta có: - Hệ số góc của $\Delta_1$ là $k_1 = \frac{1}{2}$ (vì $x - 2y + 15 = 0 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{15}{2}$) - Hệ số góc của $\Delta_2$ là $k_2 = -2$ (vì $y = 8 - 2x$) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc $k_1$ và $k_2$ là: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right| \] Thay các giá trị vào công thức: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-2)}{1 + \frac{1}{2} \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} + 2}{1 - 1} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{0} \right| \] Ta thấy rằng mẫu số bằng 0, điều này chỉ ra rằng hai đường thẳng vuông góc với nhau. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $90^\circ$. Đáp án: D. $90^\circ$. Câu 28. Để tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hai đường thẳng: - Đường thẳng \(d_1\) đã cho dưới dạng phương trình tổng quát: \(6x - 5y + 15 = 0\). - Đường thẳng \(d_2\) đã cho dưới dạng phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 10 - 6t \\ y = 1 + 5t \end{array} \right. \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_1\): - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_1\) là \(\vec{n_1} = (6, -5)\). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d_2\): - Từ phương trình tham số của \(d_2\), ta thấy vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u_2} = (-6, 5)\). 4. Tính góc giữa hai đường thẳng: - Góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là góc giữa vectơ pháp tuyến của \(d_1\) và vectơ chỉ phương của \(d_2\). Ta sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{u_2}|} \] - Tính tích vô hướng \(\vec{n_1} \cdot \vec{u_2}\): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{u_2} = 6 \times (-6) + (-5) \times 5 = -36 - 25 = -61 \] - Tính độ dài của các vectơ: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \] \[ |\vec{u_2}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \] - Thay vào công thức: \[ \cos \theta = \frac{|-61|}{\sqrt{61} \times \sqrt{61}} = \frac{61}{61} = 1 \] - Vậy \(\cos \theta = 1\), suy ra \(\theta = 0^\circ\). 5. Kết luận: - Góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(D.~90^0.\) Câu 29. Để tìm góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: ax + by + c = 0\) và \(d_2: a'x + b'y + c' = 0\): \[ \tan \theta = \left| \frac{a b' - a' b}{a a' + b b'} \right| \] Trong đó: - \(a = 2\), \(b = 5\) - \(a' = 3\), \(b' = -7\) Áp dụng công thức: \[ \tan \theta = \left| \frac{2 \cdot (-7) - 3 \cdot 5}{2 \cdot 3 + 5 \cdot (-7)} \right| = \left| \frac{-14 - 15}{6 - 35} \right| = \left| \frac{-29}{-29} \right| = 1 \] Do đó: \[ \tan \theta = 1 \] Góc \(\theta\) có \(\tan \theta = 1\) là \(45^\circ\). Vậy góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là \(45^\circ\). Đáp án đúng là: \(C.~45^\circ\). Câu 30. Để tìm cosin góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1: 2x + y - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1 = (2, 1)$. - Đường thẳng $\Delta_2: \left\{\begin{array}lx=2+r\\y=1-r\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\vec{d}_2 = (1, -1)$. Từ đây, ta có thể lấy vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n}_2 = (1, 1)$ (vì $\vec{n}_2$ vuông góc với $\vec{d}_2$). 2. Tính cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (u_1, u_2)$ và $\vec{v} = (v_1, v_2)$ là: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] - Ở đây, $\vec{u} = \vec{n}_1 = (2, 1)$ và $\vec{v} = \vec{n}_2 = (1, 1)$. - Tích vô hướng $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2 + 1 = 3$. - Độ dài của $\vec{n}_1$ là $|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. - Độ dài của $\vec{n}_2$ là $|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$. - Vậy cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến là: \[ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \] 3. Kết luận: - Cosin góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{3\sqrt{10}}{10}. \] Câu 31. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( 3x + 2y + 13 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó: - \( A = 3 \) - \( B = 2 \) - \( C = 13 \) - \( (x_1, y_1) = (5, -1) \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \] Tính toán từng bước: 1. Tính \( Ax_1 + By_1 + C \): \[ 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) + 13 = 15 - 2 + 13 = 26 \] 2. Tính \( |Ax_1 + By_1 + C| \): \[ |26| = 26 \] 3. Tính \( \sqrt{A^2 + B^2} \): \[ \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] 4. Thay vào công thức khoảng cách: \[ d = \frac{26}{\sqrt{13}} \] Do đó, khoảng cách từ điểm \( M(5; -1) \) đến đường thẳng \( 3x + 2y + 13 = 0 \) là: \[ \boxed{\frac{26}{\sqrt{13}}} \] Vậy đáp án đúng là: \( \textcircled{C.}~26 \). Câu 32. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1; -1) \) đến đường thẳng \( A: 3x + y + 4 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó: - \( A = 3 \) - \( B = 1 \) - \( C = 4 \) - \( x_1 = 1 \) - \( y_1 = -1 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 4|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \] \[ d = \frac{|3 - 1 + 4|}{\sqrt{9 + 1}} \] \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{6}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{6 \sqrt{10}}{10} \] \[ d = \frac{3 \sqrt{10}}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1; -1) \) đến đường thẳng \( A: 3x + y + 4 = 0 \) là \( \frac{3 \sqrt{10}}{5} \). Đáp án đúng là: \( B. \frac{3 \sqrt{10}}{5} \). Câu 33. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(3; -4) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x - 4y - 1 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng công thức này vào bài toán: - Điểm \( M(3, -4) \) có \( x_1 = 3 \) và \( y_1 = -4 \). - Đường thẳng \( \Delta: 3x - 4y - 1 = 0 \) có \( a = 3 \), \( b = -4 \), và \( c = -1 \). Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-4) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|9 + 16 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|24|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{24}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(3; -4) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x - 4y - 1 = 0 \) là \( \frac{24}{5} \). Đáp án đúng là: \(\textcircled{B.}~\frac{24}{5}\). Câu 34. Để tính khoảng cách từ điểm $A(-3;2)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x-y+1=0$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong bài này, ta có: - Điểm $A(-3;2)$, tức là $x_0 = -3$ và $y_0 = 2$. - Đường thẳng $\Delta:~3x - y + 1 = 0$, tức là $a = 3$, $b = -1$, và $c = 1$. Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|3(-3) + (-1)(2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|-9 - 2 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} \] \[ d = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{10}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10} \] Vậy khoảng cách từ điểm $A(-3;2)$ đến đường thẳng $\Delta:~3x-y+1=0$ là $\sqrt{10}$. Đáp án đúng là: $\textcircled{A.}~\sqrt{10}$. Câu 36. Phương trình của đường tròn tâm $I(a,b)$ và bán kính $r$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Trong bài này, tâm của đường tròn là $I(-1,2)$ và bán kính là 3. Do đó, ta thay $a = -1$, $b = 2$, và $r = 3$ vào phương trình chuẩn của đường tròn: \[ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2 \] Simplifying the expression inside the parentheses: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] Vậy phương trình của đường tròn là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~(x+1)^2+(y-2)^2=9} \] Câu 37. Để tìm tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \((C):~x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng các bình phương: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + 1 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương: - Với \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Với \( y \): \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \] 4. So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh với \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4\), ta nhận thấy: - Tọa độ tâm \( I \) là \( (1, -2) \) - Bán kính \( R \) là \( \sqrt{4} = 2 \) Vậy tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn là: \[ I(1, -2); R = 2 \] Đáp án đúng là: \(\textcircled{B}\). Câu 38. Phương trình của đường tròn có dạng chuẩn là $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính của đường tròn. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xem có thể viết dưới dạng chuẩn của đường tròn hay không. Phương án A: $x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0$ Phương trình này có hệ số của $y^2$ là 2, không phải là 1, nên không thể viết dưới dạng chuẩn của đường tròn. Do đó, phương án A không phải là phương trình của đường tròn. Phương án B: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Ta sẽ hoàn thành bình phương để viết phương trình này dưới dạng chuẩn của đường tròn. 1. Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$: \[ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \] 2. Hoàn thành bình phương cho các nhóm $x$ và $y$: \[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Phương trình này có dạng chuẩn của đường tròn $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$, với tâm $(2, -3)$ và bán kính $5$. Do đó, phương án B là phương trình của đường tròn. Đáp án: B. $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.