trả lời câu hỏi trong bài Cho tam giác ABC. N (2,3) là trung điểm của AB,Đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ A lần,lượt là $7x-2y-3=0$ và $6x-y-4=0$,a)Lập phương trình cạnh AB,b) Tính diện tích tam giác ABC,c) Tìm góc A của tam giác ABC,d) Tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ B,e) tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Lập phương trình cạnh AB

1. Tìm tọa độ điểm A:
   - Điểm A nằm trên cả đường thẳng $7x - 2y - 3 = 0$ và $6x - y - 4 = 0$.
   - Giải hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     7x - 2y - 3 = 0 \
     6x - y - 4 = 0
     \end{cases}
     $$
   - Từ phương trình thứ hai, ta có: $y = 6x - 4$.
   - Thay vào phương trình thứ nhất:
     $$
     7x - 2(6x - 4) - 3 = 0 \implies 7x - 12x + 8 - 3 = 0 \implies -5x + 5 = 0 \implies x = 1
     $$
   - Thay $x = 1$ vào $y = 6x - 4$:
     $$
     y = 6(1) - 4 = 2
     $$
   - Vậy tọa độ điểm A là $(1, 2)$.

2. Tìm tọa độ điểm B:
   - Điểm N(2, 3) là trung điểm của AB, nên:
     $$
     \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = (2, 3)
     $$
   - Ta có:
     $$
     \frac{1 + x_B}{2} = 2 \implies 1 + x_B = 4 \implies x_B = 3
     $$
     $$
     \frac{2 + y_B}{2} = 3 \implies 2 + y_B = 6 \implies y_B = 4
     $$
   - Vậy tọa độ điểm B là $(3, 4)$.

3. Lập phương trình cạnh AB:
   - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là:
     $$
     \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
     $$
   - Thay $(x_1, y_1) = (1, 2)$ và $(x_2, y_2) = (3, 4)$:
     $$
     \frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1} \implies \frac{y - 2}{2} = \frac{x - 1}{2} \implies y - 2 = x - 1 \implies y = x + 1
     $$
   - Vậy phương trình cạnh AB là $y = x + 1$.

b) Tính diện tích tam giác ABC

1. Tìm tọa độ điểm C:
   - Điểm C nằm trên đường thẳng $7x - 2y - 3 = 0$ (đường trung tuyến).
   - Gọi tọa độ điểm C là $(x_C, y_C)$, ta có:
     $$
     7x_C - 2y_C - 3 = 0
     $$

2. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
     $$
   - Thay $(x_1, y_1) = (1, 2)$, $(x_2, y_2) = (3, 4)$, $(x_3, y_3) = (x_C, y_C)$:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - y_C) + 3(y_C - 2) + x_C(2 - 4) \right|
     $$
   - Để tính diện tích, ta cần biết tọa độ điểm C. Chúng ta sẽ tìm tọa độ điểm C sau khi hoàn thành các bước khác.

c) Tìm góc A của tam giác ABC

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng:
   - Góc giữa hai đường thẳng có phương trình $y = m_1x + n_1$ và $y = m_2x + n_2$ là:
     $$
     \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
     $$
   - Đường thẳng $AB$ có phương trình $y = x + 1$, tức là $m_1 = 1$.
   - Đường thẳng $AC$ có phương trình $7x - 2y - 3 = 0$, tức là $m_2 = \frac{7}{2}$.
   - Vậy:
     $$
     \tan \theta = \left| \frac{1 - \frac{7}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{7}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{-5}{2}}{\frac{9}{2}} \right| = \left| \frac{-5}{9} \right| = \frac{5}{9}
     $$
   - Góc A là:
     $$
     \theta = \arctan \left( \frac{5}{9} \right)
     $$

d) Tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ B

1. Tìm tọa độ trung điểm của AC:
   - Gọi trung điểm của AC là M, ta có:
     $$
     M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)
     $$
   - Thay $(x_A, y_A) = (1, 2)$ và $(x_C, y_C)$:
     $$
     M = \left( \frac{1 + x_C}{2}, \frac{2 + y_C}{2} \right)
     $$

2. Tính độ dài BM:
   - Độ dài đoạn thẳng BM là:
     $$
     BM = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2}
     $$
   - Thay $(x_B, y_B) = (3, 4)$ và $(x_M, y_M) = \left( \frac{1 + x_C}{2}, \frac{2 + y_C}{2} \right)$:
     $$
     BM = \sqrt{\left( 3 - \frac{1 + x_C}{2} \right)^2 + \left( 4 - \frac{2 + y_C}{2} \right)^2}
     $$

e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:
   - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
     $$
     R = \frac{abc}{4S}
     $$
   - Trong đó, $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh của tam giác, và $S$ là diện tích tam giác.

2. Tính độ dài các cạnh:
   - Độ dài cạnh AB:
     $$
     AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
     $$
   - Độ dài cạnh AC và BC cần biết tọa độ điểm C.

3. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Như đã nói ở trên, diện tích tam giác ABC cần biết tọa độ điểm C.

Kết luận

Để hoàn thành các bước còn lại, chúng ta cần biết tọa độ điểm C. Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, chúng ta đã có phương trình cạnh AB, góc A, và các bước cơ bản để tính diện tích, độ dài đường trung tuyến, và bán kính đường tròn ngoại tiếp.