Giai giup e voi a Câu 4.1. Trong không gian Oxyz với đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Một chiếc máy bay không nga,(drone) xuất phát từ điểm O và bay với vị trí không đổi, vecto thể hiện,độ dịch chuyển của máy bay sau mỗi giây là $\overrightarrow u(4;-1;3).$ Cùng thời điểm,này, chiếc bay không người lái thứ hai xuất phát từ điểm $A(24;12;18)$,và bay với tốc độ khong đổi, vecto thể hiện độ dịch chuyển của máy bay,sau mỗi giây là $\overrightarrow v(-2;5;-3).$,a) Chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là: $\frac x4=\frac y1=\frac z{-3}$,b) Khoảng cách giữa hai chiếc máy bay sau khi xuất phát được 2 giây được làm tròn đến hàng phần,mười là 27,5 mét.,c) Hai chiếc máy bay có thể va chạm với nhau sau khi xuất phát.,d) Trong 10 giây đầu tiên sau khi xuất phát, khoảng cách lớn nhất giữa hai máy bay làm tròn đến,hàng phần mười là 73,2 mét.

Question

Accepted Answer

Câu 4.1.
a) Chiếc máy bay thứ nhất di chuyển trên đường thẳng có phương trình là:
$$
\frac{x}{4} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{3}
$$

b) Khoảng cách giữa hai chiếc máy bay sau khi xuất phát được 2 giây:
- Vị trí của máy bay thứ nhất sau 2 giây: 
$$
O + 2\overrightarrow{u} = (0, 0, 0) + 2(4, -1, 3) = (8, -2, 6)
$$
- Vị trí của máy bay thứ hai sau 2 giây:
$$
A + 2\overrightarrow{v} = (24, 12, 18) + 2(-2, 5, -3) = (20, 22, 12)
$$
- Khoảng cách giữa hai máy bay:
$$
d = \sqrt{(20 - 8)^2 + (22 + 2)^2 + (12 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + 24^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 576 + 36} = \sqrt{756} \approx 27,5 \text{ mét}
$$

c) Để kiểm tra xem hai máy bay có thể va chạm với nhau sau khi xuất phát, ta cần xem xét xem có tồn tại thời điểm nào mà hai máy bay có cùng vị trí không.
- Vị trí của máy bay thứ nhất sau t giây:
$$
(4t, -t, 3t)
$$
- Vị trí của máy bay thứ hai sau t giây:
$$
(24 - 2t, 12 + 5t, 18 - 3t)
$$
- Để hai máy bay va chạm, ta cần:
$$
4t = 24 - 2t \quad \Rightarrow \quad 6t = 24 \quad \Rightarrow \quad t = 4
$$
$$
-t = 12 + 5t \quad \Rightarrow \quad -6t = 12 \quad \Rightarrow \quad t = -2
$$
$$
3t = 18 - 3t \quad \Rightarrow \quad 6t = 18 \quad \Rightarrow \quad t = 3
$$
Như vậy, không có giá trị t chung thỏa mãn cả ba phương trình, do đó hai máy bay không thể va chạm với nhau.

d) Trong 10 giây đầu tiên sau khi xuất phát, khoảng cách lớn nhất giữa hai máy bay:
- Vị trí của máy bay thứ nhất sau t giây:
$$
(4t, -t, 3t)
$$
- Vị trí của máy bay thứ hai sau t giây:
$$
(24 - 2t, 12 + 5t, 18 - 3t)
$$
- Khoảng cách giữa hai máy bay:
$$
d(t) = \sqrt{(4t - (24 - 2t))^2 + (-t - (12 + 5t))^2 + (3t - (18 - 3t))^2}
$$
$$
= \sqrt{(6t - 24)^2 + (-6t - 12)^2 + (6t - 18)^2}
$$
$$
= \sqrt{(6t - 24)^2 + (6t + 12)^2 + (6t - 18)^2}
$$
$$
= \sqrt{36t^2 - 288t + 576 + 36t^2 + 144t + 144 + 36t^2 - 216t + 324}
$$
$$
= \sqrt{108t^2 - 360t + 1044}
$$
- Để tìm giá trị lớn nhất của d(t) trong khoảng 0 ≤ t ≤ 10, ta tính đạo hàm:
$$
d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{108t^2 - 360t + 1044}} \cdot (216t - 360)
$$
$$
= \frac{108t - 180}{\sqrt{108t^2 - 360t + 1044}}
$$
- Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:
$$
108t - 180 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{180}{108} = \frac{5}{3}
$$
- Kiểm tra giá trị d(t) tại các điểm t = 0, t = 10 và t = \frac{5}{3}:
$$
d(0) = \sqrt{1044} \approx 32,3
$$
$$
d(10) = \sqrt{108 \cdot 10^2 - 360 \cdot 10 + 1044} = \sqrt{10800 - 3600 + 1044} = \sqrt{8244} \approx 90,8
$$
$$
d\left(\frac{5}{3}\right) = \sqrt{108 \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 360 \left(\frac{5}{3}\right) + 1044} = \sqrt{108 \cdot \frac{25}{9} - 600 + 1044} = \sqrt{300 - 600 + 1044} = \sqrt{744} \approx 27,3
$$
Như vậy, khoảng cách lớn nhất giữa hai máy bay trong 10 giây đầu tiên là khoảng cách tại t = 10, làm tròn đến hàng phần mười là 90,8 mét.

Đáp số:
a) $\frac{x}{4} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{3}$
b) 27,5 mét
c) Không
d) 90,8 mét