Giải toán và tìm công thức

Câu 85: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm M và N. - Điểm M là trung điểm của BC, do đó $$. - Điểm N là trung điểm của CD, do đó $$. Ta có: $$ Vì M là trung điểm của BC, nên $$. Vì N là trung điểm của CD, nên $$. Do đó: $$ Nhân cả hai vế với 2 để tìm $$: $$ Ta nhận thấy rằng $$. Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: - A. $$ - B. $$ - C. $$ - D. $$ Trong các lựa chọn này, chỉ có $$ là bằng $$ vì B'D' là đường chéo của đáy hình hộp và BD cũng là đường chéo của đáy hình hộp. Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 86: Để tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh trong mẫu số liệu: $$ 2. Xác định vị trí của trung vị: - Vì tổng số học sinh là 42 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 21 và 22. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Ta tính tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng để xác định nhóm chứa trung vị: $$ $$ $$ $$ $$ - Nhóm chứa trung vị là nhóm có tổng số học sinh từ 14 đến 26, tức là nhóm $$. Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là $$. Câu 87: Phương pháp giải: - Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. - So sánh với các đáp án để tìm ra tọa độ tâm đúng. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. Phương trình mặt cầu $$ là: $$ Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng: - Tâm của mặt cầu là $$. - Bán kính của mặt cầu là $$. Bước 2: So sánh với các đáp án để tìm ra tọa độ tâm đúng. Các đáp án được đưa ra là: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ So sánh với tâm của mặt cầu đã xác định ở bước 1, ta thấy rằng tọa độ tâm đúng là: $$ Kết luận: Đáp án đúng là: $$ Câu 88: Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một hằng số gọi là công sai. Trong bài này, ta có: - Số hạng đầu tiên $$ - Số hạng thứ hai $$ Ta tính công sai $$ của cấp số cộng: $$ Bây giờ, ta tính số hạng thứ ba $$: $$ Vậy giá trị của $$ là 5. Đáp án đúng là: D. 5 Câu 89: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. - Giải bất phương trình $$: $$ Vậy ĐKXĐ của phương trình là $$. 2. Giải phương trình: - Vì hai vế đều có cùng cơ số logarit, ta có thể loại bỏ cơ số logarit và giải phương trình: $$ - Giải phương trình này: $$ 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta kiểm tra xem $$ có thỏa mãn ĐKXĐ $$ hay không. - Thay $$ vào ĐKXĐ: $$ Vậy $$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình $$ là $$. Đáp án đúng là: D. $$. Câu 90: Phương trình của mặt phẳng $$ là phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Oz. Do đó, phương trình của mặt phẳng $$ là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 91: Để tìm tọa độ của vectơ $$, ta thực hiện các phép tính sau: Bước 1: Tính $$ $$ Bước 2: Tính $$ $$ Bước 3: Tính $$ $$ Bước 4: Cộng các kết quả trên lại để tìm $$ $$ Vậy tọa độ của vectơ $$ là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 92: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa tứ phân vị thứ ba ($$) và tứ phân vị thứ nhất ($$). Do đó, khoảng tứ phân vị được tính bằng công thức: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 93: Hình chiếu vuông góc của điểm $$ trên trục Ox là điểm có tọa độ $$. - Tọa độ $$ giữ nguyên là 8. - Tọa độ $$ và $$ đều là 0 vì điểm này nằm trên trục Ox. Do đó, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm $$ trên trục Ox là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 94: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $$, ta có thể xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là những đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $$ tiến đến giá trị nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $$ tiến đến $$, hàm số tiến đến $$. Do đó, $$ là đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là những đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $$ tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $$ tiến đến $$, hàm số tiến đến $$. Do đó, $$ là đường tiệm cận ngang. - Khi $$ tiến đến $$, hàm số tiến đến $$. Do đó, $$ là đường tiệm cận ngang khác. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $$ là: - Số đường tiệm cận đứng: 1 (đường $$) - Số đường tiệm cận ngang: 2 (đường $$ và đường $$) Vậy tổng số đường tiệm cận là: $$ Đáp án đúng là: A. 3. Câu 95: Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$. Gọi $$ là hình chiếu của điểm $$ lên mặt phẳng $$, ta có $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống mặt phẳng $$. Ta cần tìm góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$, tức là góc giữa đường thẳng $$ và đường thẳng $$ trong mặt phẳng $$. Ta có: - $$ - $$, $$, $$ Do đó, tam giác $$, $$, $$ đều là tam giác vuông cân tại $$ với các cạnh $$, $$, $$ bằng nhau. Trong tam giác $$, ta có: $$ Tương tự, ta cũng có: $$ $$ Vì $$, tam giác $$ là tam giác đều với cạnh bằng $$. Bây giờ, ta tính khoảng cách từ $$ đến mặt phẳng $$. Ta sử dụng công thức tính thể tích của tứ diện $$ theo hai cách khác nhau để tìm khoảng cách này. Thể tích của tứ diện $$ là: $$ Diện tích đáy tam giác $$ là: $$ Thể tích của tứ diện $$ cũng có thể tính theo cách khác: $$ Bây giờ, ta có: $$ $$ $$ Gọi $$ là hình chiếu của $$ trên mặt phẳng $$. Ta cần tìm góc giữa $$ và $$. Ta biết rằng $$ là đường cao hạ từ $$ xuống $$ trong tam giác đều $$. Trong tam giác đều $$, ta có: $$ Góc giữa $$ và $$ là góc giữa hai đường thẳng này trong mặt phẳng $$. Ta sử dụng công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng: $$ Vậy, giá trị của $$ là: $$ Đáp số: $$