Giúp mình giải đúng Cho hình chóp S. ABCDcó thể tích bằng 36. Tam",giác $\Delta SAB$ vuông cân tại S có cạnh $AB=4\sqrt2.$,Đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SB, SC,lần lượt lấy các điểm I , E sao cho $\overrightarrow{SI}=\frac25\overrightarrow{SB},$,$\overrightarrow{SE}=\frac23\overrightarrow{SC}.$ Gọi H là trọng tâm $\Delta ACD.$,Khoảng cách giữa hai đường thẳng AIvà H Ebằng,bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định thể tích của hình chóp S.ABCD.
2. Tìm diện tích đáy ABCD.
3. Xác định khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD.
4. Tìm tọa độ của các điểm liên quan.
5. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE.

Bước 1: Xác định thể tích của hình chóp S.ABCD

Thể tích của hình chóp S.ABCD đã cho là 36.

Bước 2: Tìm diện tích đáy ABCD

Tam giác SAB vuông cân tại S với cạnh AB = 4√2. Diện tích tam giác SAB là:
$$ 
S_{\Delta SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times SB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 
$$

Diện tích đáy ABCD là:
$$ 
S_{ABCD} = \frac{3V}{h} = \frac{3 \times 36}{h} = \frac{108}{h}
$$

Bước 3: Xác định khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD

Thể tích của hình chóp S.ABCD là:
$$ 
V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h = 36 
$$
$$ 
\frac{1}{3} \times \frac{108}{h} \times h = 36 
$$
$$ 
36 = 36 
$$

Do đó, khoảng cách từ đỉnh S đến đáy ABCD là $ h = 9 $.

Bước 4: Tìm tọa độ của các điểm liên quan

- Điểm S có tọa độ (0, 0, 9).
- Điểm A có tọa độ (0, 0, 0).
- Điểm B có tọa độ (4, 0, 0).
- Điểm C có tọa độ (4, 4, 0).
- Điểm D có tọa độ (0, 4, 0).

Trọng tâm H của tam giác ACD là:
$$ 
H = \left( \frac{0 + 0 + 4}{3}, \frac{0 + 4 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0 \right)
$$

Điểm I trên SB với $\overrightarrow{SI} = \frac{2}{5} \overrightarrow{SB}$:
$$ 
I = \left( \frac{2}{5} \times 4, \frac{2}{5} \times 0, \frac{2}{5} \times (-9) \right) = \left( \frac{8}{5}, 0, \frac{18}{5} \right)
$$

Điểm E trên SC với $\overrightarrow{SE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{SC}$:
$$ 
E = \left( \frac{2}{3} \times 4, \frac{2}{3} \times 4, \frac{2}{3} \times (-9) \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{8}{3}, -6 \right)
$$

Bước 5: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE

Phương trình đường thẳng AI:
$$ 
\vec{d}_{AI} = \left( \frac{8}{5} - 0, 0 - 0, \frac{18}{5} - 0 \right) = \left( \frac{8}{5}, 0, \frac{18}{5} \right)
$$

Phương trình đường thẳng HE:
$$ 
\vec{d}_{HE} = \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{3}, \frac{8}{3} - \frac{4}{3}, -6 - 0 \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, -6 \right)
$$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE:
$$ 
d = \frac{|(\vec{AI} \times \vec{HE}) \cdot \vec{AH}|}{|\vec{AI} \times \vec{HE}|}
$$

Tính tích vector:
$$ 
\vec{AI} \times \vec{HE} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 
\frac{8}{5} & 0 & \frac{18}{5} \ 
\frac{4}{3} & \frac{4}{3} & -6 
\end{vmatrix} = \left( -\frac{72}{15}, \frac{336}{15}, \frac{32}{15} \right)
$$

Tính độ dài:
$$ 
|\vec{AI} \times \vec{HE}| = \sqrt{\left( -\frac{72}{15} \right)^2 + \left( \frac{336}{15} \right)^2 + \left( \frac{32}{15} \right)^2} = \frac{1}{15} \sqrt{5184 + 112896 + 1024} = \frac{1}{15} \sqrt{119000} = \frac{10 \sqrt{1190}}{15} = \frac{2 \sqrt{1190}}{3}
$$

Tính khoảng cách:
$$ 
d = \frac{|(-\frac{72}{15}, \frac{336}{15}, \frac{32}{15}) \cdot (\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0)|}{\frac{2 \sqrt{1190}}{3}} = \frac{|-\frac{288}{45} + \frac{1344}{45}|}{\frac{2 \sqrt{1190}}{3}} = \frac{\frac{1056}{45}}{\frac{2 \sqrt{1190}}{3}} = \frac{1056}{45} \times \frac{3}{2 \sqrt{1190}} = \frac{1056}{30 \sqrt{1190}} = \frac{176}{5 \sqrt{1190}}
$$

Kết quả cuối cùng:
$$ 
d = \frac{176}{5 \sqrt{1190}}
$$

Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và HE là $\frac{176}{5 \sqrt{1190}}$.