giup minh vs $C.~(-2;2).$,Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai,Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 22. Cho hàm số $f(x)=x-\sin2x.$,$a)~f^\prime(x)=1+2\cos2x.$,$b)~f^\prime(x)=0\Leftrightarrow\cos2x=-\frac12.$,c) Trên đoạn $[0;\pi]$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có đúng một nghiệm $\frac{5\pi}6.$,d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;\pi]$ là $\frac{5\pi}6+\frac{\sqrt3}2.$

Question

Accepted Answer

Câu 22.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là $ f(x) = x - \sin(2x) $.

Tính đạo hàm:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\sin(2x)) $$
$$ f'(x) = 1 - 2\cos(2x) $$

Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm bằng 0
$$ f'(x) = 0 $$
$$ 1 - 2\cos(2x) = 0 $$
$$ 2\cos(2x) = 1 $$
$$ \cos(2x) = \frac{1}{2} $$

Bước 3: Giải phương trình $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $ trên đoạn $[0; \pi]$
Phương trình $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $ có các nghiệm:
$$ 2x = \frac{\pi}{3} + k\cdot2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = -\frac{\pi}{3} + k\cdot2\pi $$
$$ x = \frac{\pi}{6} + k\cdot\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{6} + k\cdot\pi $$

Trên đoạn $[0; \pi]$, các nghiệm là:
$$ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} $$

Bước 4: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên
- Tại $ x = 0 $:
$$ f(0) = 0 - \sin(0) = 0 $$

- Tại $ x = \frac{\pi}{6} $:
$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} $$

- Tại $ x = \frac{5\pi}{6} $:
$$ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} - \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

- Tại $ x = \pi $:
$$ f(\pi) = \pi - \sin(2\pi) = \pi $$

Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất
Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra:
$$ f(0) = 0 $$
$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.5236 - 0.8660 = -0.3424 $$
$$ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.6179 + 0.8660 = 3.4839 $$
$$ f(\pi) = \pi \approx 3.1416 $$

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; \pi]$ là:
$$ \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) = x - \sin(2x) $ trên đoạn $[0; \pi]$ là $ \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} $.