Trả lời đúng sai Câu 13: Cho hàm số $f(x)=2\sin x\cos x+\sqrt2x$,a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi].$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=2\cos2x+\sqrt2.$,c) Trên đoạn $[\frac\pi3;\pi],$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có đúng một nghiệm là $\frac{3\pi}8.$,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$ là $\frac{\sqrt3}2+\frac{\pi\sqrt2}3.$

Question

Accepted Answer

Câu 13:
a) Hàm số $f(x)=2\sin x\cos x+\sqrt2x$ là tổng của hai hàm số liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi].$

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là:
$$ f'(x) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{2} = 2\cos 2x + \sqrt{2}. $$

c) Trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, ta xét phương trình $f'(x) = 0$:
$$ 2\cos 2x + \sqrt{2} = 0 $$
$$ \cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Phương trình này có nghiệm là:
$$ 2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. $$

Trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, ta có:
$$ \frac{2\pi}{3} \leq 2x \leq 2\pi. $$

Do đó, phương trình $\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ có đúng một nghiệm là:
$$ 2x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8}. $$

d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
- Tại $x = \frac{\pi}{3}$:
$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}. $$

- Tại $x = \frac{3\pi}{8}$:
$$ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 2\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{3\pi}{8}\right). $$

- Tại $x = \pi$:
$$ f(\pi) = 2\sin(\pi)\cos(\pi) + \sqrt{2}\pi = 0 + \sqrt{2}\pi = \sqrt{2}\pi. $$

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$ là:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}. $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.