18. Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Câu 1 (2 điểm):

Cho \(A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)và \(B = \sqrt x  + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\))

a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\)

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị của x để \(A > B\)

Câu 2 (2 điểm):

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2\)(với k là tham số)

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y =  - 3x + 5\)

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Câu 3 (2điểm):Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\)

Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng dkhông qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều.

Câu 5 (0,5 điểm):

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\)

Với \(x = 16\) (tm) ta có \(B = \sqrt {16}  + 1 = 4 + 1 = 5.\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(B = 5\)

b) Rút gọn A

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}} \\\;\;\;= \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}} \right].\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}}\end{array}\)

c) Tìm giá trị của x để \(A > B\)

\(\begin{array}{l}A > B \Leftrightarrow \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}} > \sqrt x  + 1\\ \Leftrightarrow x + 7 > \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x + 7 > x + 4\sqrt x  + 3\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x  < 4 \Leftrightarrow x < 1\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta được \(0 \le x < 1\)thì \(A > B.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y =  - 3x + 5\)

\(\left( d \right)//\left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 =  - 3\\k - 2 \ne 5\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow k =  - 1\)

Vậy với \(k =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Khi \(k =  - 1\) thì \(\left( d \right):y =  - 3x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - 3x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).\)

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của của \(\left( d \right)\) với Ox, Oy

Cho \(x = 0\) ta được \(y =  - 3\)\( \Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)\)\( \Rightarrow OB = 3\)

Cho \(y = 0\) ta được \(x =  - 1\)\( \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow OA = 1\)

Gọi H là hình chiếu của O trên \(\left( d \right)\), ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{{10}}{9} \)

\(\Leftrightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27} \). Điều kiện xác định: \(x \ge  - 3\) .

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {16\left( {x + 3} \right)}  = 6 + \sqrt {9\left( {x + 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + 4\sqrt {x + 3}  = 6 + 3\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 3}  = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6.\)

b) \(\sqrt {4x + 1}  = x - 1\). Điều kiện xác định: \(x \ge  - \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\\x = 6\,\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6.\)

Lời giải chi tiết:

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳng d  không qua O cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm A và B. Điểm C thuộc tia đối của tia AB. Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì Hlà trung điểm của dây cung ABcủa \(\left( O \right)\) nên OH vuông góc với AB, suy ra tam giác COHnội tiếp đường tròn đường kính CO  (1)

Vì CElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nênCE vuông góc vớiOE, suy ra tam giác COEnội tiếp đường tròn đường kính CO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)COlà đường trung trực của EF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK ta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\)  (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tạiI. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIE cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà  \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \)FI là phân giác của \(\angle CFE\)   (3)

VìC là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)CI là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất)   (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \)Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

Mà CI là phân giác của \(\angle ECF\)(cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giác FCO vuông tại F có \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểm C trên tia đối của tia AB sao cho \(OC = 2R\) thì tam giác CEF đều.

Câu 5:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

Ta có: \(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x + 4x}}{x} \)\(\,= \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \)\(\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{1 - x}}\)và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi \(x = \dfrac{2}{3}.\)