2. Đề thi vào 10 môn Toán Đồng Nai năm 2020

Câu 1: 

1) Giải hệ phương trình: $$

2) Giải phương trình $$

3) Giải phương trình $$

Câu 2: 

1) Vẽ đồ thị $$ của hàm số $$.

2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $$ và $$ cắt nhau.

3) Tìm các số thực a để biểu thức $$ xác định.

Câu 3:  

1) Cho một hình cầu có thể tích bằng $$. Tính diện tích của mặt cầu.

2) Một nhóm học sinh được giao sắp xếp 270 quyển sách vào tủ ở thư viện trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc nhóm được bổ sung thêm học sinh nên mỗi giờ nhóm sắp xếp được nhiều hơn dự định 20 quyển sách, vì vậy không những hoàn thành trước dự định 1 giờ mà còn vượt mức được 10 quyển sách. Hỏi số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là bao nhiêu?

3) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình $$. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $$, $$.

Câu 4:

1) Rút gọn biểu thức $$ (với $$ và $$)

2) Tìm các số thực $$ và $$ thỏa mãn $$.

Câu 5: 

Cho $$ nhọn nội tiếp đường tròn $$ có hai đường cao $$ và $$ cắt nhau tại trực tâm $$ Vẽ đường kính $$ của  $$ Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng $$ với đường tròn $$ Gọi $$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $$ và $$ và $$

1) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp đường tròn và tâm $$ của đường tròn này thuộc đường thẳng $$

2) Gọi $$ là trung điểm của đoạn thẳng $$ Chứng minh $$

3) Gọi $$ là giao điểm của đường tròn $$ với đường tròn ngoại tiếp $$Chứng minh rằng ba điểm $$ thẳng hàng.

Câu 6: 

Cho ba số thực dương $$ thỏa mãn $$. Chứng minh rằng $$. 

Câu 1 (1,75 điểm)

Cách giải:

1) Giải hệ phương trình: $$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $$

2) Giải phương trình $$

Đặt $$ Khi đó ta có phương trình $$

Phương trình có: $$

$$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$

+) Với $$ $$

+) Với $$ $$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $$

3) Giải phương trình $$

Điều kiện: $$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:$$

Câu 2 (2 điểm)

Cách giải:

1) Vẽ đồ thị $$ của hàm số $$.

Ta có bảng giá trị:

Do đó, parabol $$ là đường cong đi qua các điểm $$, $$, $$, $$, $$ và nhận $$ làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số:

2) Tìm các tham số thực m để hai đường thẳng $$ và $$ cắt nhau.

Hai đường thẳng $$ và $$ cắt nhau khi và chi khi:

Vậy với $$ và $$ thì hai đường thẳng $$ và $$ cắt nhau.

3) Tìm các số thực a để biểu thức $$ xác định.

Biểu thức $$ xác định $$.

Vậy với $$ thì biểu thức $$ xác định.

Câu 3 (1,75 điểm)

Cách giải:

1) Cho một hình cầu có thể tích bằng $$. Tính diện tích của mặt cầu.

Gọi $$ là bán kính của hình cầu.

Vì khối cầu có thể tích bằng $$ nên $$ $$.

Vậy diện tích mặt cầu là $$.

2) Một nhóm học sinh được giao sắp xếp 270 quyển sách vào tủ ở thư viện trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc nhóm được bổ sung thêm học sinh nên mỗi giờ nhóm sắp xếp được nhiều hơn dự định 20 quyển sách, vì vậy không những hoàn thành trước dự định 1 giờ mà còn vượt mức được 10 quyển sách. Hỏi số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là bao nhiêu?

Gọi số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là $$ (quyển) (ĐK: $$).

$$ Thời gian dự định sắp xếp xong 270 quyển sách là $$.

Vì mỗi giờ nhóm sắp xếp được nhiều hơn dự định 20 quyển sách nên thực tế số quyển sách mỗi giờ nhóm đã sắp xếp được là $$ (quyển).

Vì nhóm sắp xếp vượt mức được giao 10 quyển sách nên nhóm đó đã sắp xếp được $$ (quyển)

$$ Thời gian thực tế sắp xếp xong 280 quyển sách là: $$.

Vì thực tế hoàn thành trước dự định 1 giờ nên ta có phương trình:

Vậy số quyển sách mỗi giờ nhóm dự định sắp xếp là 60 quyển.

3) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình $$. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $$, $$.

Xét phương trình $$ có $$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Gọi $$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $$, áp dụng định lí Vi-ét t có: $$.

Vì hai nghiệm $$ trái dấu nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $$.

Khi đó ta có:

Ta có: 

Khi đó ta có: $$.

Vì $$ nên $$ là nghiệm của phương trình $$.

Vậy $$ là nghiệm của phương trình $$.

Câu 4 (1,25 điểm)

Cách giải:

1) Rút gọn biểu thức $$ (với $$ và $$)

Với $$ ta có:

Vậy với $$ thì $$.

2) Tìm các số thực $$ và $$ thỏa mãn $$.

Xét hệ phương trình $$.

Trừ vế theo vế của phương trình (1) và (2) ta có:

TH1: $$.

Thay vào phương trình (1) ta có:

Xét phương trình $$ (vô nghiệm do $$)

Với $$ $$ Hệ phương trình có nghiệm $$.

TH2: $$.

Vì  $$

Lại có $$.

Do đó $$, do đó phương trình $$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$.

Câu 5 (2,75 điểm)

Cho $$ nhọn nội tiếp đường tròn $$ có hai đường cao $$ và $$ cắt nhau tại trực tâm $$ Vẽ đường kính $$ của  $$ Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng $$ với đường tròn $$ Gọi $$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $$ và $$ và $$

1) Chứng minh tứ giác $$ nội tiếp đường tròn và tâm $$ của đường tròn này thuộc đường thẳng $$

Ta có: $$ là đường cao của $$ $$ hay $$

$$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

$$ là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Có: $$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $$

$$ Tâm $$ của đường tròn này là trung điểm của $$

Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$

Ta có: $$ (cùng phụ với $$)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)

Hay $$

$$ là phân giác của $$

Ta có: $$ là đường cao của $$ $$

$$ là đường cao của $$

Xét $$ ta có: $$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác từ đỉnh $$  của tam giác

$$  cân tại $$  và $$  là đường trung tuyến của $$

$$  là trung điểm của $$

Gọi $$  là giao điểm của $$  và $$

Ta có: $$

Mà $$  $$ hay $$

Xét $$ ta có:

$$ là trung điểm của $$ (cmt)

 $$ (cmt)

$$ là đường trung bình của $$

$$  là trung điểm của $$

$$ hay $$ (đpcm).

2) Gọi $$ là trung điểm của đoạn thẳng $$ Chứng minh $$

Ta có: $$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$

Mà $$ $$ (từ vuông góc đến song song)

Hay $$$$  là hình bình hành (dhnb)

$$  cắt $$  tại trung điểm của mỗi đường

Lại có $$ là trung điểm của $$ (gt)

$$  cũng là trung điểm của $$

Xét $$ ta có:

$$  lần lượt là trung điểm của $$

$$  là đường trung bình của $$ (định nghĩa)

3) Gọi $$ là giao điểm của đường tròn $$ với đường tròn ngoại tiếp $$Chứng minh rằng ba điểm $$ thẳng hàng.

Gọi $$ là giao điểm của tia $$ với đường tròn $$

Xét tứ giác $$ ta có:

Mà đỉnh $$ là các đỉnh kề nhau

$$ là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

$$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét $$ và $$ ta có:

Ta có tứ giác $$ nội tiếp đường tròn $$

$$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét $$ và $$ ta có:

Xét $$ và $$ ta có:

$$  (hai góc tương ứng)

$$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

$$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $$

$$ thẳng hàng. (đpcm)

Câu 6 (0,5 điểm)

Cách giải:

Cho ba số thực dương $$ thỏa mãn $$. Chứng minh rằng $$.

Ta có: $$.

Mà $$

Ta cần chứng minh

Vì $$.

Do đó ta cần chứng minh $$.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $$.

Dấu “=” xảy ra $$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.