2. Đề thi vào 10 môn Toán Đồng Tháp năm 2020

Đề bài

Câu 1: 

1. Tính giá trị biểu thức \(F = \sqrt {49}  + \sqrt {25} \).

2. Tìm điều kiện của x để biểu thức \(H = \sqrt {x - 1} \) có nghĩa.

Câu 2: 

1. Hàm số \(y = 3x + 2\) là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)? Vì sao?

2. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\). Điểm \(M\left( {2;8} \right)\) có thuộc \(\left( P \right)\) hay không? Vì sao?

Câu 3:  

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\).

2. Nhà bạn Lan cách trường học 5km, nhà bạn Mai cách trường học 4km. Mai bắt đầu đi học sớm hơn Lan 5 phút và hai bạn gặp nhau tại cổng trường lúc 6 giờ 50 phút sáng. Biết rằng vận tốc đi xe của bạn Lan lớn hơn vận tốc đi xe của bạn Mai 8km/h. Hỏi Mai bắt đầu đi học lúc mấy giờ.

Câu 4:

Một hộp sữa Ông Thọ là một hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đường tròn đáy là 3,8cm. Tính thể tích hộp sữa (lấy \(\pi  \approx 3,14\); kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 5: 

Tính chiều rộng AB của một dòng song (hình vẽ). Biết rằng \(BC = 9m,\,\,BD = 12m\).

Câu 6: 

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right).\) Vẽ các tiếp tuyến \(AM,\,\,AN\) với \(\left( O \right)\) (với \(M,\,\,N\) là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

2. Biết \(OA = 10\,cm\) và \(\angle MAN = {60^0}.\) Tính phần diện tích của tứ giác \(AMON\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\)

Lời giải

Câu 1. (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Tính giá trị biểu thức \(F = \sqrt {49}  + \sqrt {25} \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}F = \sqrt {49}  + \sqrt {25} \\F = \sqrt {{7^2}}  + \sqrt {{5^2}} \\F = 7 + 5\\F = 12\end{array}\)

Vậy \(F = 12\).

2. Tìm điều kiện của x để biểu thức \(H = \sqrt {x - 1} \) có nghĩa.

Biểu thức \(H = \sqrt {x - 1} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Vậy biểu thức \(H = \sqrt {x - 1} \) có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ge 1\).

Câu 2. (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Hàm số \(y = 3x + 2\) là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)? Vì sao?

Hàm số \(y = 3x + 2\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) vì đây là hàm số bậc nhất có hệ số \(a = 3 > 0\).

2. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\). Điểm \(M\left( {2;8} \right)\) có thuộc \(\left( P \right)\) hay không? Vì sao?

Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;8} \right)\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có: \(8 = {2.2^2} \Leftrightarrow 8 = 8\) (luôn đúng).

Vậy \(M\left( {2;8} \right) \in \left( P \right)\).

Câu 3. (2,0 điểm)

Cách giải:

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\).

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6\\y = 3 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).

2. Nhà bạn Lan cách trường học 5km, nhà bạn Mai cách trường học 4km. Mai bắt đầu đi học sớm hơn Lan 5 phút và hai bạn gặp nhau tại cổng trường lúc 6 giờ 50 phút sáng. Biết rằng vận tốc đi xe của bạn Lan lớn hơn vận tốc đi xe của bạn Mai 8km/h. Hỏi Mai bắt đầu đi học lúc mấy giờ.

Gọi thời gian bạn Mai đi từ nhà đến trường là \(x\,\,\left( h \right)\) (ĐK: \(x > \dfrac{1}{{12}}\)).

Vì Mai bắt đầu đi học sớm hơn Lan 5 phút và hai bạn gặp nhau cùng lúc nên thời gian Mai đi nhà đến trường nhiều hơn thời gian Lan đi từ nhà đến trường là 5 phút = \(\dfrac{5}{{60}} = \dfrac{1}{{12}}\) (h) nên thời gian Lan đi từ nhà đến trường là: \(x - \dfrac{1}{{12}}\,\,\left( h \right)\).

\( \Rightarrow \) Vận tốc xe của bạn Mai là: \(\dfrac{4}{x}\,\,\left( {km/h} \right)\).

      Vận tốc xe của bạn Lan là: \(\dfrac{5}{{x - \dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{{60}}{{12x - 1}}\,\,\left( {km/h} \right)\).

Vì vận tốc đi xe của bạn Lan lớn hơn vận tốc đi xe của bạn Mai 8km/h nên ta có phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{60}}{{12x - 1}} - \dfrac{4}{x} = 8\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{{12x - 1}} - \dfrac{1}{x} = 2\\ \Leftrightarrow 15x - \left( {12x - 1} \right) = 2x\left( {12x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 15x - 12x + 1 = 24{x^2} - 2x\\ \Leftrightarrow 24{x^2} - 5x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 24{x^2} - 8x + 3x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 1} \right) + \left( {3x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {8x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\8x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - \dfrac{1}{8}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Thời gian bạn Mai đi từ nhà đến trường là \(\dfrac{1}{3}h = 20\) phút.

Vậy Mai bắt đầu đi học lúc 6 giờ 50 phút – 20 phút = 6 giờ 30 phút.

Câu 4. (1,0 điểm)

Cách giải:

Một hộp sữa Ông Thọ là một hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đường tròn đáy là 3,8cm. Tính thể tích hộp sữa (lấy \(\pi  \approx 3,14\); kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Một sữa Ông Thọ có chiều cao \(h = 8cm\), bán kính đường tròn đáy \(r = 3,8cm\).

Thể tích hộp sữa là; \(V = \pi {r^2}h \approx 3,14.3,{8^2}.8 \approx 362,73\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Vậy thể tích hộp sữa xấp xỉ \(362,73\,\,c{m^3}\).

Câu 5. (1,0 điểm)

Cách giải:

Tính chiều rộng AB của một dòng song (hình vẽ). Biết rằng \(BC = 9m,\,\,BD = 12m\).

Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) có đường cao \(DB\) ta có:

\(D{B^2} = AB.BC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow {12^2} = AB.9 \Leftrightarrow AB = \dfrac{{{{12}^2}}}{9} = 16\,\,\,\left( m \right)\).

Vậy chiều rộng của dòng sông là \(AB = 16m\).

Câu 6. (2 điểm)

Cách giải:

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right).\) Vẽ các tiếp tuyến \(AM,\,\,AN\) với \(\left( O \right)\) (với \(M,\,\,N\) là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có:\(AM,\,\,AN\) là các tiếp tuyến tại \(M,\,\,N\) của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AM\\ON \bot AN\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle AMO = \angle ANO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AMON\) ta có:

\(\angle AMO + ANO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow AMON\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm)

2. Biết \(OA = 10\,cm\) và \(\angle MAN = {60^0}.\) Tính phần diện tích của tứ giác \(AMON\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\)

Ta có: \(AM,\,\,AN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\)

\( \Rightarrow AO\) là phân giác của \(\angle MAN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\(\angle MAO = \dfrac{1}{2}\angle MAN = {30^0}\)

Xét \(\Delta AMO\) vuông tại \(M\) ta có:

\(\begin{array}{l}AM = AO.\cos \angle MAO = 10.\cos {30^0} = 5\sqrt 3 \,\,cm.\\OM = R = AO.\sin \angle MAO = 10.\sin {30^0} = 5\,cm.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{AMO}} = \dfrac{1}{2}OM.AM = \dfrac{1}{2}.5.5\sqrt 3  = \dfrac{{25\sqrt 3 }}{2}\,\,\,c{m^2}\\ \Rightarrow {S_{AMON}} = 2.{S_{AMO}} = 2.\dfrac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \,\,c{m^2}.\end{array}\)  

Ta có: \(AMON\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle MAN + \angle MON = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle MON = {180^0} - \angle MAN = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\)

Mà \(\angle MON\) là góc ở tâm chắn cung \(MN\) \( \Rightarrow cung\,\,MN = {120^0}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình quạt \(MON\) là: \({S_0} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.5}^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,c{m^2}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích của phần tứ giác \(AMON\) nằm phía ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) là:

\(S = {S_{AMON}} - {S_0} = 25\sqrt 3  - \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Vậy diện tích phần hình cần tính là: \(25\sqrt 3  - \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,c{m^2}.\)