2. Đề thi vào 10 môn Toán Phú Thọ năm 2020

Đề bài

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm)

Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức $$ là

     A.$$                  B. $$                     C.$$                         D. $$

Câu 2. Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên ℝ trong các hàm số sau $$

     A. 5                                    B. 4                                         C. 3                                        D. 2

Câu 3. Cho hàm số $$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. m = –4

     B. m = –3

     C. m = 3

     D. m = 4

Câu 4. Hệ phương trình $$ có nghiệm là$$. Khi đó $$ bằng

     A. –1                                  B. 1                                         C. 3                                        D. 4

Câu 5. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số$$?

     A. A(1;5)                            B. B(3;40)                               C. C(2;20)                              D. D(–1;5)

Câu 6. Giả sử phương trình $$ có hai nghiệm $$. Tính $$

     A. 1                                    B. 24                                       C. 13                                      D. –17

Câu 7. Cho parabol $$ và đường thẳng $$ cắt nhau tại hai điểm$$. Khi đó $$ bằng:

     A. 1                                    B. –2                                       C. 8                                        D. 10

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh $$. Diện tích tam giác ABC bằng:

     A. $$                                B. $$  C. $$                                 D. $$

Câu 9. Cho hai đường tròn $$ và $$ cắt nhau tại A và B. Biết$$. (như hình vẽ bên).

Độ dài GO’ bằng

A. 5 (cm)

B. $$

C. $$

D. $$

Câu 10. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CD. Đường thẳng AM, BN cắt đường tròn lần lượt tại E, F (như hình vẽ bên).

Số đo góc EDF bằng

     A. $$                      B. $$

     C. $$                      D.$$                                                                          

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức: $$

b) Giải hệ phương trình: $$

Câu 2 (2,0 điểm): Cho phương trình $$(m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

c) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để $$

Câu 3 (3,0 điểm): Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc $$ cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên AB. I là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh rằng

a) AKMT là tứ giác nội tiếp

b) $$

c) Khi đường tròn (O) và  B;C cố định, điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì tổng $$ có giá trị không đổi.

Câu 4. (1,0 điểm): Giải phương trình $$. 

Lời giải chi tiết

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2,5 điểm)

Câu 1
Phương pháp:

Biểu thức $$ xác định $$

Cách giải:

Biểu thức đã cho xác định $$

Chọn A.

Câu 2

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất $$ đồng biến trên ℝ khi a > 0, nghịch biến khi a < 0

Cách giải:

Có 3 hàm số đồng biến trên ℝ là $$

Chọn C.

Câu 3

Phương pháp:

Xác định hệ số a, từ đó tìm ra m

Cách giải:

Hàm số đã cho $$ đi qua gốc O nên b = 0, đi qua điểm (1;1) nên $$

⟹ m – 3 = 1 ⟹ m = 4

Chọn D.

Câu 4

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, rồi tính $$

Cách giải:

Chọn A.

Câu 5

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Thay tọa độ điểm B(3;40) vào công thức hàm số, ta có 40 = 5.32 ⟺ 40 = 45 (không thỏa mãn)

Vậy điểm B không thuộc đồ thị

Chọn B.

Câu 6

Phương pháp:

Giải phương trình, tìm $$

Cách giải:

Ta có $$

Chọn D.

Câu 7

Phương pháp:

Viết phương trình hoành độ giao điểm, giải ra 2 nghiệm

Tìm giao điểm 2 đồ thị

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Với $$

Với $$

Vậy $$

Chọn D.

Câu 8

Phương pháp:

Tính cạnh góc vuông của tam giác, từ đó tính diện tích

Cách giải:

Vì ABC là tam giác vuông cân nên $$

Chọn C.

Câu 9

Phương pháp:

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Tính OH và O’H

Cách giải:

Gọi H là giao điểm của AB và OO’. Vì $$ nên OO’ là trung trực của AB, suy ra $$

Vì $$ nên hai tam giác AHO và AHO’ vuông tại H

Áp dụng định lý Pitago ta có

Chọn C.

Câu 10

Phương pháp:

Chứng mình hai tam giác ABM và BCN bằng nhau

Chứng minh $$

Cách giải:

Xét hai tam giác vuông ABM và BCN có

$$ (hai góc tương ứng)

Ta có các góc nội tiếp

(do tam giác BDC vuông cân tại C).

Chọn B.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm)

Cách giải::

a) Tính giá trị biểu thức $$

Ta có:

Vậy $$

b) Giải hệ phương trình $$

Vậy hệ có nghiệm $$ là $$.

Câu 2 (2,5 điểm)

Cách giải::

Cho phương trình $$ ($$ là tham số).

a) Giải phương trình khi $$.

Khi $$, phương trình trở thành $$.

Ta có: $$, do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt $$, $$.

Vậy khi $$ tập nghiệm của phương trình là $$.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $$.

Xét phương trình $$  (*) ta có:

Do $$.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $$.

c) Gọi $$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $$ để $$.

Theo ý b) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $$.

Giả sử $$ là hai nghiệm của phương trình, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $$.

Theo bài ra ta có:

Vậy $$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3 (3 điểm)

Cách giải:

Cho $$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $$ Tia phân giác $$ cắt cạnh $$ tại $$ và cắt đường tròn $$ tại $$ Gọi $$ là hình chiếu của $$ trên $$ $$ là hình chiếu của $$ trên $$ Chứng minh rằng:

a) $$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $$ $$

Xét tứ giác $$ ta có: $$

Mà hai góc này là hai góc đối diện

$$ là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).

b) $$

Xét $$ ta có:

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

Lại có: $$ là tia phân giác của $$ $$

$$ Số đo cung $$ Số đo cung $$ (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

Ta có:

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ là góc nội tiếp chắn cung $$

$$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Xét $$ và $$ ta có:

Lại có: Số đo cung $$ Số đo cung $$ (cmt) nên $$ (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Vậy $$.

c) Khi đường tròn $$ và $$ cố định, điểm $$ thay đổi trên cung lớn $$ thì tổng $$ có giá trị không đổi.

Đặt $$.

Xét $$ và $$ có:

$$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$$ (hai 2 tương ứng).

Giả sử $$, khi đó ta có:

Xét $$ và $$ có:

$$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$$ (2 cạnh tương ứng).

$$.

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có: $$, $$.

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có: $$.

$$.

Vì đường tròn $$ và $$ cố định nên số đo cung $$ không đổi.

$$ số đo cung BC không đổi (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

$$ không đổi $$ không đổi.

Vậy $$ không đổi, với $$ số đo cung BC không đổi.

Câu 4 (1,0 điểm)

Cách giải::

Giải phương trình $$

ĐK: $$

Khi đó

Ta có:

Vậy phương trình có tập nghiệm $$.