3. Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ngãi năm 2019

Đề bài

Bài 1 (1,0 điểm):

a) Cho biểu thức $$. So sánh $$ với $$.

b) Giải hệ phương trình $$.

Bài 2 (2,5 điểm):

1. Cho parabol $$ và đường thẳng $$

    a) Vẽ $$ và $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $$

    b) Viết phương trình đường thẳng $$ song song với $$ và tiếp xúc với $$

2. Cho phương trình $$ ($$ là tham số)

    a) Biết phương trình có một nghiệm bằng $$ Tính nghiệm còn lại.

    b) Xác định $$ để phương trình có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

Bài 3 (2,0 điểm):

Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực hiện đúng kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ đều làm vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau?

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho tam giác nhọn $$ đường cao $$, nội tiếp đường tròn $$ Gọi $$ và $$ thứ tự là hình chiếu vuông góc của $$ lên $$ và $$

a) Chứng minh các tứ giác $$ và $$ nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ đường kính $$ của đường tròn $$ Chứng minh $$ và $$

c) Gọi $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $$ Chứng minh $$ là trung điểm của đoạn thẳng $$

d) Tính bán kính của đường tròn $$ biết $$

Bài 5 (1 điểm):

Cho hình vuông $$. Gọi $$ là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và CD ; $$ là diện tích phần còn lại của hình vuông ABCD nằm ngoài hai nửa hình tròn nói trên (như hình vẽ bên). Tính tỉ số $$. 

Lời giải chi tiết

Bài 1:

Phương pháp:

a) Rút gọn $$, sử dụng hẳng đẳng thức $$.

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Cách giải:

a) Cho biểu thức $$. So sánh $$ với $$.

Ta có: $$.

Vậy $$.

b) Giải hệ phương trình $$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $$.

Bài 2:

Phương pháp:

1. a) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số

    b) Đường thẳng $$ và đường thẳng $$ song song với nhau khi $$

    Đường thẳng $$tiếp xúc với parabol $$ khi phương trình hoành độ giao điểm của $$ và $$ có nghiệm kép.

2. a) Thay $$ vào phương trình ta tìm được $$ Giải phương trình với $$ tìm được ta tính được nghiệm còn lại.

    b) Biến đổi để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét.

Cách giải:

1. Cho parabol $$ và đường thẳng $$

a) Vẽ $$ và $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $$

Bảng giá trị của hàm số$$

Vẽ đường cong qua các điểm có tọa độ $$ ta được parabol $$ và parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bảng giá trị của hàm số $$

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ $$ ta được đường thẳng $$

Vẽ $$ và $$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $$

b) Viết phương trình đường thẳng $$ song song với $$ và tiếp xúc với $$

Gọi phương trình đường thẳng $$ .

Vì $$ nên $$  suy ra $$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $$ và parabol $$ ta có

$$ (*)

Để đường thẳng $$ tiếp xúc với parabol $$ thì phương trình (*) có nghiệm kép

Vậy phương trình đường thẳng $$.

2. Cho phương trình $$ (1) ($$ là tham số)

a) Biết phương trình có một nghiệm bằng $$ Tính nghiệm còn lại.

Thay $$ vào phương trình (1) ta được $$

Thay $$ vào phương trình (1) ta có phương trình :

Vậy nghiệm còn lại là $$

b) Xác định $$ để phương trình có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$

Xét phương trình (1) có $$

Để phương trình (1) có hai nghiệm $$ thì $$

Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có $$

Theo bài ra ta có:

Vậy $$ là giá trị cần tìm.

Bài 3:

Phương pháp:

+) Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là x (sản phẩm) $$. Tính số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được thực tế.

+) Tính số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch và thực tế.

+) Dựa vào giả thiết “đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày”, lập và giải phương trình.

+) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là x (sản phẩm) $$.

Khi đó số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được thực tế là $$ (sản phẩm).

Số ngày làm hết 250 sản phẩm theo kế hoạch là $$ (ngày).

Trong 4 ngày đầu đội công nhân làm được: $$ (sản phẩm).

Số sản phẩm cần làm thêm để hoàn thành kế hoạch là $$ (sản phẩm).

Số ngày làm xong $$ sản phẩm là $$ (ngày).

Do đội đó hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên  ta có phương trình :

Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là 25 sản phẩm.

Bài 4:

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Cách giải:

a) Chứng minh các tứ giác $$ và $$ nội tiếp được đường tròn.

Xét tứ giác $$ ta có: $$

Mà hai góc này là hai góc đối diện $$ là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vì tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (cmt)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$).

Lại có $$ (cùng phụ với $$)

$$ .

$$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (đpcm)

b) Vẽ đường kính $$ của đường tròn $$ Chứng minh $$ và $$

+) Áp dụng hệ thức lượng trong $$ vuông tại $$ có đường cao $$ ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong $$ vuông tại $$ có đường cao $$ ta có:

Mà $$$$

+) Chứng minh $$ 

Gọi $$.

Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (cmt) $$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$) $$.

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $$ vuông tại $$.

$$.

$$ vuông tại $$.

c) Gọi $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $$ Chứng minh $$ là trung điểm của đoạn thẳng $$

Gọi $$ là trung điểm của $$ $$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Lại có $$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

$$ thẳng hàng $$. Mà $$.

Xét tam giác $$ có:

$$ là trung điểm của $$;

$$;

$$ là trung điểm của $$ (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

d) Tính bán kính của đường tròn $$ biết $$

Bài 5:

Phương pháp:

Gọi $$ là tâm hình vuông.

Tính các diện tích $$ bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa diện tích các hình. Từ đó suy ra tỉ số.

Cách giải:

Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$, gọi $$ là trung điểm của $$ và $$.

Suy ra $$ tại $$ $$

$$ nằm trên các đường tròn đường kính $$ và đường tròn đường kính $$ (cùng nhìn $$ và $$ dưới các góc vuông).

Không mất tính tổng quát, giả sử hình vuông có cạnh bằng $$ suy ra $$.

$$.

Ta có $$ là đường trung bình của tam giác $$ .

Xét tam giác $$ vuông tại $$ có $$.

Diện tích hình quạt $$

$$ Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $$ và cung $$ trong hình tròn đường kính $$ là

$$.

Tương tự, diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $$ và cung $$ trong hình tròn đường kính $$ là $$.

Suy ra $$.

Diện tích tam giác $$ là $$.

CMTT: Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $$ và cung $$ là $$

Diện tích phần còn lại giới hạn tam giác $$ và hình viên phân giới hạn bởi dây $$ và cung $$ là $$.

Tương tự, diện tích phần còn lại giới hạn tam giác $$ và hình viên phân giới hạn bởi dây $$ và cung $$ là $$

Suy ra $$

$$ $$.

Vậy $$.