8. Đề thi học kì 2 môn toán lớp 9 năm 2019 - 2020 Sở GD tỉnh Vĩnh Phúc

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3 điểm).

Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình $$ là

A. $$

B. $$

C. $$

D. $$

Câu 2. Phương trình bậc hai $$ có tổng hai nghiệm bằng

A. $$                                  B. $$

C. $$                                   D. $$

Câu 3. Phương trình bậc hai $$ có biệt thức $$ bằng

A. $$                                  B. $$

C. $$                                   D. $$

Câu 4. Cho đường tròn $$. Khi đó độ dài đường tròn bằng

A. $$                    B. $$

C. $$                    D. $$

Câu 5. Một hình quạt tròn có bán kính $$, số đo cung là $$. Khi đó diện tích hình quạt tròn bằng

A. $$                   B. $$

C. $$                   D. $$

Câu 6. Độ dài cung $$ của một đường tròn có bán kính $$ là

A. $$                    B. $$

C. $$                    D. $$

PHẦN II: TỰ LUẬN (7 điểm).

Câu 7: (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình $$

b) Giải phương trình $$.

Câu 8: (1,0 điểm)

Cho phương trình $$ ($$ là ẩn, $$ là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi $$.

b) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi $$.

Câu 9: (1,5 điểm)

Theo kế hoạch trong tháng 3 năm 2020, hai tổ công nhân dự kiến may $$ chiếc khẩu trang để phục vụ cho công tác phòng chống dịch Covid-19. Nhưng thực tế tổ I đã may vượt mức kế hoạch 10%, tổ II may vượt mức kế hoạch 12% nên cả hai tổ đã may được  $$ chiếc khẩu trang. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải may bao nhiêu chiếc khẩu trang?

Câu 10: (2,5 điểm)

Từ điểm $$ nằm ngoài đường tròn $$ kẻ hai tiếp tuyến $$ với đường tròn $$ ($$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $$  bất kì trên cung nhỏ $$ ($$ không trùng với $$). Gọi $$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $$ đến các đường thẳng $$.

a) Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $$.

c) Gọi giao điểm của $$ và $$ là $$, $$ và $$ là $$. Chứng minh $$ song song với $$.

Câu 11: (0,5 điểm)

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn $$. Chứng minh rằng $$

Câu 1 (TH): 

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

Ta có: $$$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$

Chọn B

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Dùng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai $$ có hai nghiệm $$ thì $$

Cách giải:

Ta có: $$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $$ $$

Chọn A

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai $$ có $$

Cách giải:

Ta có: $$ $$

Chọn D

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Độ dài đường tròn bán kính $$ là $$

Cách giải:

Độ dài đường tròn $$ $$ (cm)

Chọn C

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Diện tích quạt tròn có bán kính $$ và số đo cung là $$ là $$

Cách giải:

Diện tích quạt tròn là $$ $$

Chọn A

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Độ dài cung tròn có bán kính $$ và số đo cung là $$ là $$

Cách giải:

Độ dài cung là $$

Chọn B

Phương pháp giải:

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

b) Đặt $$ sau đó đưa về giải phương trình bậc hai ẩn $$

So sánh điều kiện rồi thay lại cách đặt để tìm $$

Lời giải chi tiết:

a) Giải hệ phương trình $$

Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm $$

b) Giải phương trình $$.

Đặt $$, ta được phương trình $$

Với $$ $$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $$

Phương pháp giải:

a) Thay $$ vào phương trình rồi giải

b) Phương trình $$ có nghiệm $$

Lời giải chi tiết:

Cho phương trình $$ ($$ là ẩn, $$ là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi $$.

Thay $$ vào phương trình $$ ta được: $$ (*)

Có $$ nên phương trình  (*) có hai nghiệm phân biệt $$

Vậy với $$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$

b) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi $$.

Ta thấy phương trình $$ có $$ nên nó là phương trình bậc hai một ẩn

Lại có $$ $$ $$ $$ 

Vì $$ với mọi $$ nên $$ với mọi $$

Suy ra $$ với mọi $$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $$

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

B2: Lập và giải hệ phương trình

B3: So sánh điều kiện và kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết:

Gọi số khẩu trang mà tổ 1 và tổ 2 phải may theo kế hoạch lần lượt là $$ (chiếc) $$

Vì hai tổ dự kiến may 7000 chiếc khẩu trang nên ta có phương tình $$  (1)

Thực tế tổ 1 may vượt kế hoạch 10% nên tổ 1 may được $$ chiếc

Thực tế tổ 2 may vượt kế hoạch 12% nên tổ 2 may được $$ chiếc

Thực tế cả hai tổ may được $$ chiếc nên ta có phương trình $$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy theo kế hoạch, tổ 1 phải may 3000 chiếc khẩu trang và tổ 2 phải may 4000 chiếc khẩu trang.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$.

b) Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp suy tra $$.

Từ đó suy điều phải chứng minh.

c) Chứng minh $$ $$

Từ đó suy ra $$ và tứ giác $$ nội tiếp.

Sử dụng tính chất tứ giác $$ nội tiếp để chứng minh $$.

Lời giải chi tiết:

Từ điểm $$ nằm ngoài đường tròn $$ kẻ hai tiếp tuyến $$ với đường tròn $$ ($$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $$  bất kì trên cung nhỏ $$ ($$ không trùng với $$). Gọi $$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $$ đến các đường thẳng $$.

a) Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $$

Tứ giác $$ có: $$.

Vậy $$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$) (đpcm).

b) Chứng minh $$.

Theo câu a, $$ là tứ giác nội tiếp

$$ $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $$) (1)

Lại có, $$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$ $$  (đpcm).

c) Gọi giao điểm của $$ và $$ là $$, $$ và $$ là $$. Chứng minh $$ song song với $$.

Ta có:

Mà $$ (chắn cung $$)

Mà $$(cùng chắn cung $$)

Nên $$ (3)

Tương tự,

Mà $$  (cùng chắn cung $$)

Lại có tứ giác $$ nội tiếp (vì $$) nên:

$$ (cùng chắn cung $$)

$$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra

$$ tứ giác $$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$)

Mà $$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $$ (đpcm).

Phương pháp giải:

Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức $$

Lời giải chi tiết:

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn $$. Chứng minh rằng $$

Trước hết ta chứng minh BĐT $$ (*)

Áp dụng BĐT Bunhia cho các bộ số $$ và $$ ta có:

Vậy (*) được chứng minh.

Ta có:

Áp dụng (*) ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $$.

Vậy $$

HẾT