9. Giải đề thi học kì 2 toán lớp 9 năm 2020 - 2021 PGD quận Cầu Giấy

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức \(A = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\).

3) Tìm x để \(A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Câu II. (2,0 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% số học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% số học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Tính số học sinh dự thi của môi trường?

Câu III. (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1}  = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1}  =  - 5}\end{array}} \right.\)

2) Cho parabol (P): \(y = {x^2}\)và đường thẳng (d): \(y = 2(m - 1)x - {m^2} + 2m\) (m là tham số).

a. Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 2.

b. Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) là hai số đối nhau.

Câu IV. (3,5 điểm)

Cho nửa tròn (0 ; R) đường kính AB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó (M khác A và B). Trên dây BM lấy điểm N (N khác B và M), tỉa AN cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Tia AM và tia BP cắt nhau tại Q.

1) Chứng minh: bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: \(\Delta \)MAB và \(\Delta \)MNQ đồng dạng.

3) Chứng minh MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.

4) Dựng hình bình hành ANBC. Chứng minh QB = QC.sin\(\widehat {QPM}\)

Câu V.(0,5 điểm)

Tìm GTNN của biểu thức:

\(P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2}  + 2021\).

Phương pháp giải:

1) Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không và thay vào A tính toán.

2) Quy đồng và rút gọn.

3) Rút gọn biểu thức \(A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x  + 2}}\) rồi tìm x.

Chú ý kết hợp ĐKXĐ.

Lời giải chi tiết:

Câu 1:

1) Thay \(x = 9\) (t/m đk) vào A ta được:

\(A = \frac{2}{{\sqrt 9  - 2}} = 2\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = 2\).

2)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\\ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 2) + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 2)}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 2)}}\\ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 2)}}\\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}\)

3)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x  - 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{3x}}{{\sqrt x  - 2}}\\ \Leftrightarrow 2 + \sqrt x  = 3x\\ \Leftrightarrow 3x - \sqrt x  - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (3\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt x  + 2 = 0\,(VN)}\\{\sqrt x  - 1 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,(t/m)\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) thỏa mãn đề bài.

Phương pháp giải:

1) Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

- Gọi ẩn và đặt ĐK cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng đã biết và chưa biết theo ẩn.

- Thiết lập các phương trình từ điều kiện bài cho suy ra hệ phương trình.

- Giải hệ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi số HS trúng tuyển của trường A và B lần lượt là x và y(\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,y < 750\)).

Ta có phương trình: \(x + y = 750\,\,(1)\)

Do trường A có \(80\% \) số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \(0,8x\) (học sinh)

Do trường A có \(70\% \) số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \(0,7y\) (học sinh)

Vì tổng số HS trúng tuyển của hai trường là 560 học sinh nên ta có pt:

\(0,8x + 0,7y = 560\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 750}\\{0,8x + 0,7y = 560}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 350}\\{y = 400}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy số học sinh trúng tuyển của trường A và B lần lượt là: 350 học sinh và 400 học sinh.

Phương pháp giải:

1)- Đặt ẩn phụ suy ra hệ phương trình mới

- Giải hệ phương trình mới rồi thế vào cách đặt tìm được x, y

- Kết luận

Chú ý: Điều kiện của hệ

2)

a) Thay m vào (d) rồi giải phương trình hoành độ giao điểm tìm được x

Suy ra tọa độ giao điểm.

b) - Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) là hai số đối nhau khi \(\Delta ' > 0\) và \({x_1} + {x_2} = 0\)

- Áp dụng định lí vi-ét tìm được m

Lời giải chi tiết:

1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1}  = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1}  =  - 5}\end{array}} \right.\) điều kiện: \(y \ge  - 1,\,\,x \ne y\).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = a}\\{\sqrt {y + 1}  = b\,(b \ge 0)}\end{array}} \right.\) ta có hpt:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 4}\\{a - 3b =  - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\) suy ra:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{\sqrt {y + 1}  = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{y + 1 = 4}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4(t/m)}\\{y = 3(t/m)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((4;\,3)\).

2)

a) Khi \(m = 2\) ta có:

 \(\begin{array}{l}y = 2.(2 - 1)x - {2^2} + 2.2\\ \Leftrightarrow y = 2x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} = 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

+) Với x = 0 thì y = 0

+) Với x = 2 thì y = 2.2 = 4

Suy ra tọa độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là (0; 0) và (2; 4)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\):

\(\begin{array}{l}{x^2} = 2(m - 1) - {m^2} + 2m\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 2m = 0\,\,(1)\end{array}\)

Để \((d)\) và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có: \(\Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - {m^2} + 2m > 0\)

\( \Leftrightarrow 1 > 0\)(luôn đúng)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

+) Để \((d)\) và \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là hai số đối nhau thì:

\({x_1} =  - {x_2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0\)

Mặt khác, theo Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\) nên:

\(2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc

c) Chứng minh MO vuông góc với bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ

d) Dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông 

Lời giải chi tiết:

1)

Ta có: \(\widehat {AMB} = {90^0}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {QMN} = {90^0}\) (kề bù với \(\widehat {AMB}\))

\(\widehat {APB} = {90^0}\)(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {QPN} = {90^0}\)(kề bù với \(\widehat {APB}\))

Xét tứ giác MNPQ có:

\(\widehat {QMN} + \widehat {QPN} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện

Suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp.

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

2)

Do tứ giác MNPQ nội tiếp nên: \(\widehat {MQN} = \widehat {MPN}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN)

Xét (O) có: \(\widehat {ABM} = \widehat {MPN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Suy ra: \(\widehat {MQN} = \widehat {ABM}\)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MNQ\) có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMQ} = {90^0}\)

\(\widehat {MQN} = \widehat {ABM}\)

Suy ra:  (g.g)

3)

Gọi I là trung điểm của QN.

Xét tam giác MNQ vuông tại M có I là trung điểm của QN nên:

MN=MI=IQ => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.

Do \(\Delta MIN\) cân tại I nên \(\widehat {IMN} = \widehat {INM}\)

Vì tứ giác MNPQ nội tiếp nên: \(\widehat {IMN} = \widehat {MPQ}\) (cùng chắn cung MQ)

Suy ra: \(\widehat {INM} = \widehat {MPQ}\) (1)

Do \(\Delta OMB\) cân tại O (OM=OB=R) nên: \(\widehat {OBM} = \widehat {ABM}\)

Mà: \(\widehat {ABM} = \widehat {MPA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

Suy ra: \(\widehat {OMB} = \widehat {MPA}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {OMB} + \widehat {IMN} = \widehat {MPA} + \widehat {MPQ} = \widehat {APQ} = {90^0}\)

Suy ra: \(\widehat {OMI} = {90^0}\,\, \Rightarrow MI \bot MO\)

Vậy MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.

4)

Do ANBC là hình bình hành nên: BC // AN hay BC // AP mà \(AP \bot BQ\)

Suy ra: \(BC \bot BQ \Rightarrow \widehat {QBC} = {90^0}\)

Do ANBC là hình bình hành nên: AC // MB mà \(MB \bot AN\)

Suy ra: \(AC \bot AM \Rightarrow \widehat {CAQ} = {90^0}\)

Xét tứ giác AQBC có: \(\widehat {QBC} + \widehat {CAQ} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

=> Tứ giác AQBC nội tiếp đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {QCB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB) (3)

Ta có: \(\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = {90^0}\) (tam giác MAB vuông tại M)

\(\widehat {QPM} + \widehat {MPA} = {90^0}\) mà \(\widehat {MPA} = \widehat {MBA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

\( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {QPM}\)\(\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {QCB} = \widehat {QPM}\)(5)

Xét tam giác QCB vuông tại B có: sin \(\widehat {QCB}\) =\(\frac{{QB}}{{QC}}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(\sin \widehat {QPM} = \frac{{QB}}{{QC}}\) hay \(QB = QC.\sin \widehat {QPM}\) (đpcm)

Phương pháp giải:

- Tách thành các hằng đẳng thức và các số dương để đánh giá.

Chú ý điều kiện của c khi áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số dương.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2}  + 2021\\P = ({x^2} - 2xy + {y^2}) + 2\sqrt {x - 2}  + ({x^2} - 4x + 4) + \frac{1}{x} + x + 2017\\P = {(x - y)^2} + 2\sqrt {x - 2}  + {(x - 2)^2} + \left( {\frac{1}{x} + \frac{x}{4}} \right) + \frac{{3x}}{4} + 2017\\ \Rightarrow P \ge {(2 - y)^2} + 0 + 0 + 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}  + \frac{{3.2}}{4} + 2017\,\,\\ \Rightarrow P \ge 0 + 0 + 0 + 1 + \frac{3}{2} + 2017\\ \Rightarrow P \ge \frac{{4039}}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\).

Vậy GTNN của P bằng \(\frac{{4039}}{2}\) khi \(x = 2\).

\(\)