Đề kiểm tra giữa kì II Toán 8 - Đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a) $$

b) $$                                              

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một ô tô phải đi quãng đường $$ dài $$ trong thời gian nhất định. Ô tô đi nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn hơn dự định là $$ và đi nửa quãng đường sau với vận tốc kém dự định là $$. Biết ô tô đến $$ đúng thời gian dự định. Tính thời gian ô tô dự định đi quãng đường $$.

Câu 3 (3,5 điểm): Cho tam giác $$ có các đường cao $$ cắt nhau tại $$. Gọi $$ và $$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $$ trên $$ và $$.

a) Chứng minh rằng: $$

b) Gọi $$ là hình chiếu vuông góc của $$ trên $$. Chứng minh rằng: $$

c) Gọi $$ là hình chiếu vuông góc của $$ trên $$. Chứng minh rằng: bốn điểm $$ thẳng hàng.

Câu 4 (0,5 điểm):

a) (Dành cho lớp 8A)

Cho các số thực không âm $$ thỏa mãn $$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b)

Cho các số thực $$ thỏa mãn $$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Phương trình có dạng: $$

Điều kiện: $$

Trường hợp 1: $$

Trường hợp 2: $$

b) Đưa phương trình đã cho về dạng

Cách giải:

Giải các phương trình sau:

a) $$

 Điều kiện: $$$$

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

b) $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Gọi vận tốc ô tô dự định đi quãng đường $$ là $$.

Thời gian ô tô dự định đi quãng đường $$ là $$.

Vận tốc ô tô đi nửa quãng đường đầu là $$.

Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là $$

Vận tốc ô tô đi nửa quãng đường sau là $$

Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn $$

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Gọi vận tốc ô tô dự định đi quãng đường $$ là $$.

Thời gian ô tô dự định đi quãng đường $$ là $$.

Vận tốc thực ô tô đi nửa quãng đường đầu là $$.

Thời gian ô tô đi nửa quãng đường đầu là $$.

Vận tốc thực ô tô đi nửa quãng đường sau là $$.

Thời gian ô tô đi nửa quãng đường sau là $$

Vì ô tô đến $$ đúng thời gian dự định nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc dự định ô tô đi quãng đường AB  là 40 $$.

Thời gian ô tô dự định đi quãng đường $$ là: $$.

Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đường $$ là $$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Để chứng minh $$ ta chứng minh $$ (cùng bằng $$).

b) Áp dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh $$

Chứng minh $$ (cùng bằng $$).

c) Chứng minh: Ba điểm $$ thẳng hàng;

 $$ thẳng hàng (Áp dụng định lý Ta-lét đảo và tiên đề Ơ-clit)

Cách giải:

a) Chứng minh rằng: $$

Xét $$ và $$ có:

$$ chung

$$ (góc – góc)

$$ (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)   $$

Xét $$ và $$ có:

$$ chung

$$ (góc – góc).

$$ (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)    $$

Từ $$ và $$ ta có $$

b) Gọi $$ là hình chiếu vuông góc của $$ trên $$. Chứng minh rằng: $$.

Ta có:

 (quan hệ từ vuông góc đến song song).

(quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét $$ có $$, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

Xét $$ có $$, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

Từ $$ và $$ suy ra $$.

Xét $$ có $$ (chứng minh trên).

$$ $$ (định lý Ta-lét đảo).

c) Gọi $$ là hình chiếu vuông góc của $$ trên $$. Chứng minh rằng: bốn điểm $$ thẳng hàng.

*) Chứng minh ba điểm $$ thẳng hàng.

Theo câu $$ ta có:

$$$$.

Xét $$ có

 $$$$ (định lý Ta-lét đảo).

Ta lại có $$ (chứng minh trên).

$$ Ba điểm $$ thẳng hàng (tiên đề Ơ-Clit).

*) Chứng minh ba điểm $$ thẳng hàng.

Ta có:

(quan hệ từ vuông góc đến song song).

(quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét $$ có $$, áp dụng định lý Ta-let ta có:

Xét $$ có $$, áp dụng định lý Ta-let ta có:

Từ (1) và  (2) suy ra $$.

Xét $$ có $$ suy ra $$ (định lý Ta-lét đảo).

Ta lại có $$ nên ba điểm $$ thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit).

Mà ba điểm $$ thẳng hàng nên bốn điểm $$ thẳng hàng.

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

a) Biến đổi, phân tích để biểu thức $$ thành nhân tử để chứng minh được $$.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm $$ và $$. Biến đổi để đưa biểu thức $$ biểu diễn qua $$. Từ đó suy ra được $$.

b) Sử dụng BĐT: $$.

Cách giải:

a) 

Cho các số thực không âm $$ thỏa mãn $$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$

*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 $$.

$$ với mọi số thực không âm $$.

Chọn $$.

Suy ra, $$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$ khi $$.

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm $$ và $$ ta được:

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi $$.

Ta có:

$$$$,

$$.

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$ khi $$.

b)

Cho các số thực $$ thỏa mãn $$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$.

*) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$.

Với mọi số thực $$ ta có:

Mà $$ và $$

nên $$.

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi

$$.

Chọn $$.

Vậy $$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $$ khi $$.

*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$.

Với mọi số thực $$ ta có:

Mà $$ và $$ nên $$ với mọi số thực $$.

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi

 $$$$.

Mà $$ suy ra

$$$$.

Vậy $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$ khi $$.