Đề kiểm tra giữa kì II Toán 8 - Đề số 4 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (2 điểm): Giải phương trình:

a) $$

b) $$

Câu 2 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài $$. Nếu giảm chiều dài $$ thì diện tích mảnh đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là $$. Tính các kích thước của miếng đất ban đầu.

Câu 3 (2 điểm): Cho phương trình $$ ($$ là tham số)

a) Tính giá trị của $$ để phương trình nhận $$ là một nghiệm.

b) Tìm giá trị của $$ để phương trình có nghiệm $$ duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (3,5 điểm): Cho $$ vuông tại $$ là đường cao.

a) Chứng minh $$ và $$ đồng dạng.

b) Chứng minh $$

c) Gọi $$ lần lượt là trung điểm của $$. Chứng minh $$.

d) Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $$ tại $$ và đường thẳng $$. Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Chứng minh $$ là trung điểm của $$.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho ba số $$ thỏa mãn $$. Chứng minh rằng:

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Kết luận.

Cách giải:

a) $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

b) $$                            

  Điều kiện: $$$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kết hợp với điều kiện xác định và kết luận.

Cách giải:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi chiều rộng của miếng đất ban đầu là $$.

Chiều dài của miếng đất ban đầu là $$.

Diện tích của miếng đất ban đầu là $$.

Chiều dài của miếng đất sau khi giảm đi $$ là $$.

Diện tích của miếng đất sau khi giảm chiều dài là $$.

Vì giảm chiều dài $$ thì diện tích mảnh đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là $$ nên ta có phương trình:

Chiều rộng của miếng đất ban đầu là $$.

Vậy chiều dài của miếng đất ban đầu là $$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Thay giá trị $$ vào phương trình đã cho để tìm $$.

b) Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất với mọi $$. Đưa phương trình về dạng $$$$.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất của $$.

Cách giải:

Cho phương trình $$ ($$ là tham số)

a) Tính giá trị của $$ để phương trình nhận $$ là một nghiệm.

Vì $$ là nghiệm của phương trình $$ nên ta có:

Vậy $$.

b) Tìm giá trị của $$ để phương trình có nghiệm $$ duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Phương trình $$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

$$$$$$với mọi $$.

Suy ra, với mọi giá trị của $$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có:

Vì $$ với mọi $$

$$ với mọi $$

$$ với mọi $$

$$ với mọi $$

Dấu “$$” xảy ra khi và chỉ khi $$ (thỏa mãn)

Do đó, $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$ khi $$.

Vậy $$ thì phương trình có nghiệm $$ duy nhất đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng để có tỉ số $$. Từ đó, chứng minh được $$.

c) Áp dụng câu b $$ và áp dụng định nghĩa đường trung bình trong $$.

d) Chứng minh $$ từ $$ (áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét)

Hệ quả của định lý Ta-lét:

Cách giải:

Cho $$ vuông tại $$ là đường cao.

a) Chứng minh $$ và $$ đồng dạng.

Xét $$ và $$ có:

$$ chung

$$ (góc-góc)

b) Chứng minh $$.

$$ vuông tại $$$$ (tổng ba góc trong tam giác)

$$ vuông tại $$$$  (tổng ba góc trong tam giác)

$$ (vì cùng phụ với $$)

Xét $$ và $$ có:

$$ (chứng minh trên)

$$ (góc-góc)

$$(tỷ số cặp cạnh tương ứng)

$$(đpcm)

c) Gọi $$ lần lượt là trung điểm của $$. Chứng minh $$.

Theo câu a) ta có: $$

$$ (tỷ số cặp cạnh tương ứng)

Xét $$ ta có:

$$ là trung điểm của $$ (giả thiết)

$$ là trung điểm của $$ (giả thiết)

$$ là đường trung bình của $$ (định nghĩa đường trung bình trong tam giác)

$$ (tính chất)

Từ $$và $$ suy ra: $$

$$ hay $$(đpcm).

d) Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $$ tại $$ và đường thẳng $$. Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Chứng minh $$ là trung điểm của $$.

Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$.

Vì $$ là đường trung bình của $$ nên $$ (tính chất đường trung bình)$$.

Xét $$ có :$$ và  $$ là trung điểm của $$.

$$ $$ là trung điểm của $$ (định lí đường trung bình trong tam giác)

Ta có:

$$ tại $$

$$ tại $$

$$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$$ (vì $$)

Xét $$ có $$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: $$

Xét $$ có $$, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: $$

Mà $$ (vì $$ là trung điểm của $$)

$$ $$ là trung điểm của $$.

Câu 5 (VDC)

Phương pháp:

Chứng minh hiệu $$ bằng cách quy mẫu thức nhiều phân thức.

Cách giải:

Ta có:

Vì $$ suy ra

Lại có: $$

Mà $$ (chứng minh trên)

$$ (đpcm)