Đề kiểm tra giữa kì II Toán 8 - Đề số 3 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (3,0 điểm):  Giải các phương trình :

a) $$

b) $$

c) $$                      

Câu 2 (3,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một xe máy đi từ $$ đến $$ với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm $$, vì vậy xe máy đi đến $$ sớm hơn $$ phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường $$ dài $$.

Câu 3 (3,5 điểm): Cho $$ vuông tại $$, đường cao $$. Đường phân giác của $$ cắt $$ tại $$ và cắt $$ tại $$.

a) Chứng minh: $$ đồng dạng $$ và $$.

b) Biết $$. Tính $$ và $$.

c) Gọi $$ là trung điểm của $$. Chứng minh: $$.

Câu 4 (0,5 điểm): Giải phương trình: $$$$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

a) Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:

b) Phương trình không chứa ẩn ở mẫu:

Đưa phương trình về dạng $$ hay $$.

c) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Kết luận.

Cách giải:

Giải các phương trình:

a) $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

b) $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$

c) $$                

Điều kiện: $$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $$.

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường là  $$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là $$ .

Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là  $$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là  $$.

Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn   $$

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $$.

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường $$ là $$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là $$.

Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là $$.

Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là $$.

Vì xe máy đi đến $$ sớm hơn $$ phút so với dự định nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc dự định của xe máy là $$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc để suy ra các tỉ số bằng nhau $$ từ đó suy ra đẳng thức $$.

b) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác, dùng phương pháp thế để tìm được $$ và $$.

c) Chứng minh $$ và $$ cùng bằng $$: Sử dụng hai góc phụ nhau, chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Cách giải:

 $$ vuông tại $$, đường cao $$. Đường phân giác của góc $$ cắt $$ tại $$ và cắt $$ tại $$.

a) Chứng minh: $$ đồng dạng $$ và $$

Xét $$ và $$ ta có:

$$ chung

$$ (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)

$$ (đpcm)

b) Biết $$. Tính $$ và $$.

Vì $$ vuông tại $$, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét $$ có $$ là đường phân giác của góc $$.

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:

$$$$$$$$.

Ta lại có:

c) Gọi $$ là trung điểm của $$. Chứng minh: $$.

Vì $$ vuông tại $$ nên $$.

Vì $$ vuông tại $$ nên $$.

Mà $$ (vì $$ là tia phân giác của $$).

Suy ra, $$.

Ta lại có: $$ (hai góc đối đỉnh).

$$ hay $$.

$$ cân tại $$.

Mà $$ là trung điểm của $$ nên $$ tại $$.

Xét $$ và $$ có:

$$.

$$ (hai góc đối đỉnh).

$$ (góc-góc).

$$$$.

Xét $$ và $$ có:

$$ (hai góc đối đỉnh).

$$ (chứng minh trên).

$$ (cạnh-góc-cạnh).

$$ (hai góc tương ứng) hay $$  $$

Ta lại có:

Từ $$và $$ suy ra $$ (đpcm).

Câu 4 (VDC)

Phương pháp:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng tích $$ $$

Cách giải:

Giải phương trình: $$

Đặt: $$$$

Phương trình $$ trở thành:

Vậy $$.