Đề thi vào 10 môn Toán Hà Tĩnh năm 2019

Câu 1 (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:

$$ với $$ và $$

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Tìm các giá trị của $$ và $$ để đường thẳng $$ đi qua hai điểm $$ và $$

b) Cho phương trình $$ ($$ là tham số). Tìm giá trị của $$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn $$

Câu 3 (1,5 điểm):

Một đội xe vận tải được phân công chở 112 tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Câu 4 (3 điểm):

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến $$ với đường tròn ($$ là tiếp điểm). Đường thẳng $$thay đổi đi qua M, không đi qua O, và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $$ và $$ (C nằm giữa $$ và $$)

a) Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $$

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $$ luôn đi qua điểm cố định khác $$

Câu 5  (1 điểm): Cho hai số thực dương $$ thỏa mãn $$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$

Câu 1

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức: $$

b)  Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi rồi rút gọn biểu thức.

Cách giải:

Rút gọn các biểu thức:

Vậy $$

$$  với $$ và $$

Điều kiện: $$

Vậy với $$ thì $$

Câu 2:

Phương pháp:

a) Thay tọa độ điểm M và N vào phương trình đường thẳng, rút ra hệ phương trình hai ẩn a, b. Giải hệ phương trình tìm a, b.

b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $$.

    Áp dụng định lí Vi-ét.

Cách giải:

a) $$.

    $$.

Ta có hệ phương trình: $$.

Vậy $$

b) $$

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt $$ thì $$.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $$.

Theo bài ra ta có: $$.

Do $$ là nghiệm của phương trình (1) nên

Khi đó $$.

$$.

Vậy $$.

Câu 3

Phương pháp:

Gọi số xe ban đầu của đội xe là $$ (xe) $$

Dựa vào các giả thiết bài toán biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết rồi lập phương trình.

Giải phương trình tìm ẩn $$ rồi đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Cách giải:

Gọi số xe ban đầu của đội xe là $$ (xe) $$

Theo dự định, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: $$ (tấn)

Số xe thực tế làm nhiệm vụ là: $$ (xe).

$$ Thực tế, mỗi xe chở số tấn hàng là: $$ (tấn).

Thực tế, mỗi xe phải chở nhiều hơn theo dự định $$ tấn hàng nên ta có phương trình:

Vậy số xe ban đầu của đội xe là 16 xe.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác $$ và tam giác $$ đồng dạng.

c) Chứng minh tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

a) Chứng minh $$ là tứ giác nội tiếp

Do $$ là các tiếp tuyến của đường tròn $$ tại $$ nên $$.

Xét tứ giác $$ có: $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh $$.

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có:

$$ chung;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $$);

 (1).

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ luôn đi qua điểm cố định khác $$.

Gọi $$.

Ta có $$ thuộc trung trực của $$.

         $$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $$ thuộc trung trực của $$.

$$ là trung trực của $$ $$ tại $$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $$ ta có: $$.

Từ (1) và (2) $$.

Xét tam giác $$ và tam giác $$ có :

$$ chung;

$$;

  (hai góc tương ứng).

Mà $$ (kề bù) $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

$$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $$.

Mà $$ cố định $$ cố định $$ cố định.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ luôn đi qua điểm $$ cố định (đpcm).

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải:

Theo đề bài ta có: $$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $$

Dấu “=” xảy ra $$

Vậy $$  khi $$