Bài 6 trang 119 sgk Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Theo giả thiết \(IJ \, \bot \,  AB, IJ \, \bot  \, CD\).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d \,  //  \, CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \dfrac{CD}{2}\)

Ta có \(IJ  \, \bot  \, CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF\), lại có \(IJ \,  \bot  \, AB \, \,(gt)\)

\(\Rightarrow IJ  \, \bot  \, (AEBF)\).

Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình

\( \Rightarrow CE  \, //  \, DF \,  //  \, IJ\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \,  \bot  \, BE\\DF \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \,  \bot  \, AF\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)

Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:

  +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) 

  +) \(AF=BE\)

  +) \(DF=CE\)

\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\). 

Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).