(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.

Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).

Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.

Lời giải chi tiết:

Tại \(A\left( {1;1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

LG c

Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có

\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} - {{x + 1} \over 2}\)

- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)

- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x > - 1\) ta có:

\(g(x) - h(x) > 0\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow g(x) > h(x) \cr& \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x) \cr& \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).

Lại có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) - h\left( x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)

Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).

Vậy ta có đpcm.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024