Câu 25 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \ge  - 1\) \( \Rightarrow y \ge 2 + 2,5.\left( { - 1} \right) =  - 0,5\)

Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1.\) Ta có :

\(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} =  - \frac{1}{4} + k\)

\(\Leftrightarrow x = k\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\) 

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

LG b

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \le   1\) \( \Rightarrow y \le 2 + 2,5.1 =  4,5\)

Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1.\) Ta có :

\(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1\)

\(\Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k\)

\(\Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\,\left( {\,k \in N} \right)\) 

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

LG c

Chiếc gầu cách mặt nước \(2m\) lần đầu tiên khi nào ?

Lời giải chi tiết:

Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi:

\(\begin{array}{l}
2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 2\\
\Leftrightarrow 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \\
\Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{k}{2}\\
\Leftrightarrow x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}
\end{array}\)

Nghĩa là tại các thời điểm \(x = {1 \over 4} + {1 \over 2}k\) (phút) thì chiếc gầu cách mặt nước 2m;

Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được \({1 \over 4}\) phút (ứng với \(k = 0\)).