Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:
\(1.2 + 2.5 + ... + n.\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh
\(1.2 + 2.5 + ... + n\left( {3n - 1} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\) (1)
Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.
Với \(n = 1,\) ta có \(1.2 = 2 = {1^2}.\left( {1 + 1} \right).\) Như vậy, (1) đúng khi \(n = 1.\)
Giả sử (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) tức là giải sử đã có
\(1.2 + 2.5 + ... + k\left( {3k - 1} \right) = {k^2}\left( {k + 1} \right)\)
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1,\) nghĩa là ta sẽ chứng minh
\(1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \)
\(= {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right)\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
\(\eqalign{
& 1.2 + 2.5 + ... + k.\left( {3k - 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr&= {k^2}.\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right) \cr
& = \left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right) \cr
& = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}.\left( {k + 2} \right) \cr} \)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \in N^*.\)
CHƯƠNG 1: ĐIỆN TÍCH - ĐIỆN TRƯỜNG
Chuyên đề 1. Một số vấn đề về khu vực Đông Nam Á
Chuyên đề 2: Một số bệnh dịch ở người và cách phòng, chống
Chuyên đề 3: Một số yếu tố vẽ kĩ thuật
Unit 4: Preserving World Heritage
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11