Câu hỏi 4 - Mục Bài tập trang 57

1. Nội dung câu hỏi

Tính $B C, B D, D C$.

2. Phương pháp giải

- Sử dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

- Định lí Py – ta – go

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Xét tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ta có:
$$
\begin{aligned}
& A B^2+A C^2=B C^2 \\
& \Leftrightarrow 3^2+4^2=B C^2 \\
& \Leftrightarrow B C^2=25 \\
& \Rightarrow B C=5 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

Ta có: $BD+DC=BC\Rightarrow DC=BC-BD=5-BD$

Vì $A D$ là phân giác của góc $B A C$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:
$$
\begin{aligned}
& \frac{B D}{D C}=\frac{A B}{A C} \Leftrightarrow \frac{B D}{5-B D}=\frac{3}{4} \Leftrightarrow 4 \cdot B D=3 \cdot(5-B D) \\
& \Rightarrow 4 \cdot B D=15-3 \cdot B D
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 4 B D+3 B D=15 \Leftrightarrow 7 B D=15 \Rightarrow B D=\frac{15}{7} \\
& \Rightarrow D C=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}
\end{aligned}
$$

Vậy $B C=5 \mathrm{~cm} ; B D=\frac{15}{7} \mathrm{~cm} ; D C=\frac{20}{7} \mathrm{~cm}$.

1. Nội dung câu hỏi

Vẽ đường cao $A H$. Tính $A H, H D$ và $A D$.

2. Phương pháp giải

- Sử dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

- Định lí Py – ta – go

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

3. Lời giải chi tiết

Diện tích tam giác $A B C$ vuông tại $A$ là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}·4·3=6\left({ cm}^2\right)$

Mặt khác $S_{A B C}=\frac{1}{2} \cdot A H \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot A H \cdot 5=6$
$\Rightarrow AH=\frac{6.2}{5}=2,4 cm\text{. }$

Xét tam giác $A H B$ vuông tại $H$ ta có:
$$
\begin{aligned}
& A H^2+H B^2=A B^2 \\
& \Leftrightarrow H B^2=A B^2-A H^2 \\
& \Leftrightarrow H B^2=3^2-2,4^2 \\
& \Leftrightarrow H B^2=3,24 \\
& \Rightarrow H B=1,8 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$
$HD=BD-BH=\frac{15}{7}-1,8=\frac{12}{7} cm\text{. }$

Xét tam giác $A H D$ vuông tại $H$ ta có:
$$
\begin{aligned}
& A H^2+H D^2=A D^2 \\
& \Leftrightarrow A D^2=\left(\frac{12}{7}\right)^2+2,4^2 \\
& \Leftrightarrow A D^2=\frac{144}{49}+\frac{144}{25} \\
& \Rightarrow A D \approx 2,95 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

Vậy $A H=2,4 \mathrm{~cm} ; H D=\frac{12}{7} \mathrm{~cm} ; A D=2,95 \mathrm{~cm}$.