39. Đề số 39 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu I: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: $$

2) Giải hệ phương trình: $$

Câu II: (2,0 điểm)

Cho biểu thức $$ với $$

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm tất cả các giá trị của x để $$

Câu III: (2,0 điểm)

1. Cho đường thẳng $$ . Tìm $$ để đường thẳng (d) song song với đường thẳng $$ và đi qua điểm $$

2. Cho phương trình $$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

Bài IV: (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm $$, đường kính $$. Gọi $$ lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn $$ tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn $$ sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt $$ lần lượt tại M, N.

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $$

3. Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích $$ có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

Câu V: (1,0 điểm)

Cho $$ là các số thực dương thỏa mãn: $$ . Chứng minh $$

Lời giải chi tiết

Câu I.

1) Giải phương trình: $$

Ta có: $$ nên phương trình đã cho luôn có một nghiệm là $$ và nghiệm còn lại là: $$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$.

2) Giải hệ phương trình: $$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: $$

Câu II.

Cho biểu thức $$ với $$

1. Rút gọn biểu thức A.

Vậy với $$ thì $$

2. Tìm tất cả các giá trị của x để $$

Với $$ ta có: $$ khi đó $$ $$

Kết hợp với điều kiện ta được: $$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu III.

1.  Cho đường thẳng $$ . Tìm $$ để đường thẳng (d) song song với đường thẳng $$ và đi qua điểm $$

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) khi và chỉ khi: $$

Khi đó (d) trở thành: $$

Đường thẳng (d’) đi qua điểm $$ nên ta có:

Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: $$

2.  Cho phương trình $$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$  với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:

Xét biệt thức $$

Vậy phương trình $$ luôn có hai nghiệm phân biệt $$ với mọi m. Giả sử $$

Theo hệ thức Viet ta có: $$

Theo đề ra ta có:

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài IV.

Cho đường tròn tâm $$, đường kính $$. Gọi $$ lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn $$ tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay đổi trên đường tròn $$ sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt $$ lần lượt tại M, N.

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

Ta có: MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên $$

Xét tứ giác $$ có $$

$$  Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2. Chứng minh $$

Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

$$;

Xét $$ và $$ có:

$$;

$$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE);

Do I là trung điểm của OA $$

$$ hay $$.

$$.

3. Khi điểm E thay đổi chứng minh tích $$ có giá trị không đổi và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

+) Chứng minh tích $$ có giá trị không đổi

Xét tứ giác $$ có $$ $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)

Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI) ;

Mà $$

$$.

Xét $$ và $$ có:

Ta có $$

$$.

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

Tứ giác BNEI là tứ giác nội tiếp (cmt) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EI)

Do tứ giác $$ nội tiếp (cmt) $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IE)

$$ ($$ vuông tại E)

$$ vuông tại I $$

Đặt $$ $$ $$.

Xét tam giác vuông AIM có $$

Xét tam giác vuông BIN có : $$ $$

Do $$ $$ và $$.

Dấu bằng xảy ra $$

Vậy $$

Câu V.

Ta có: