5. Đề số 5 – Đề kiểm tra học kì 2 – Toán 8

Câu 1 (3 điểm): 

a) Giải phương trình: \(2\left( {x - 3} \right) = 5x - 3\)

b) Giải phương trình: \(\dfrac{5}{{x - 5}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)

c) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: \(5x + 2 \ge 2\left( {x - 3} \right)\)

Câu 2 (1 điểm): Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 600m, chiều dài hơn chiều rộng 190m. Tìm diện tích của thửa ruộng đó.

Câu 3 (1 điểm): Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của số đó là 14. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho là 36.

Câu 4 (1 điểm): Giá mua 5 cây bút bi và 3 cây bút chì bằng giá mua 2 cây bút bi và 5 cây bút chì. Giá mua 1 cây bút chì là 11 400 đồng. Hỏi giá cây bút bi là bao nhiêu?

Câu 5 (1 điểm): Một xe ô tô đi từ A đến B gồm một đoạn đường đá và một đoạn đường nhựa. Trên đoạn đường đá xe chạy với vận tốc 30km/h và trên đoạn đường nhựa xe chạy với vận tốc 50km/h. Biết rằng, thời gian đi từ A đến B là 4 giờ. Tính quãng đường AB.

Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác ABC có \(AB = 7cm,BC = 4cm,\)\(AC = 6cm\). Kẻ đường phân giác BE của tam giác ABC (\(E \in AC\)).

a) Tính độ dài cạnh AE và CE.

b) Kẻ \(CF \bot BE\left( {F \in BE} \right)\) và AH vuông góc với đường thẳng BE \(\left( {H \in BE} \right)\). Chứng minh: \(AB.BF = BC.BH\)

c) CF cắt đường trung tuyến BD của tam giác ABC tại G. Chứng minh DF đi qua trung điểm của EG.

Phương pháp giải:

a) Nhân phá ngoặc, chuyển vế đổi dấu để giải phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Tìm ĐKXĐ của phương trình, chuyển vế, quy đồng, rút gọn, loại nghiệm.

3) Thực hiện giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Lời giải chi tiết:

a) Giải phương trình: \(2\left( {x - 3} \right) = 5x - 3\)

\(\begin{array}{l}2\left( {x - 3} \right) = 5x - 3\\ \Leftrightarrow 2x - 6 = 5x - 3\\ \Leftrightarrow 3x =  - 3 \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 1.\)

b) Giải phương trình: \(\dfrac{5}{{x - 5}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{5}{{x - 5}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x - 5}} - \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{{x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 5} \right) - \left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 5x + 5 - x + 5 - x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{3}\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{5}{3}.\)

c) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: \(5x + 2 \ge 2\left( {x - 3} \right)\)

\(\begin{array}{l}5x + 2 \ge 2\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 5x + 2 \ge 2x - 6\\ \Leftrightarrow 3x \ge  - 8\\ \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{8}{3}\end{array}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge  - \dfrac{8}{3}.\)

Biểu diễn trên trục số:

Phương pháp giải:

Gọi chiều dài của thửa ruộng là x (m), dựa vào dữ kiện đề bài lập phương trình tìm x từ đó tính diện tích thửa ruộng.

Lời giải chi tiết:

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 600m, chiều dài hơn chiều rộng 190m. Tìm diện tích của thửa ruộng đó.

Nửa chu vi của thửa ruông là: \(600:2 = 300\;\;\left( m \right).\)

Gọi chiều dài của thửa ruộng là \(x\;\left( m \right),\;\left( {190 < x < 300} \right).\)

Khi đó chiều rộng của thửa ruộng là: \(300 - x\;\left( m \right).\)

Chiều dài hơn chiều rộng \(190m\) nên ta có phương trình:

 \(\begin{array}{l}x - \left( {300 - x} \right) = 190\\ \Leftrightarrow x - 300 + x = 190\\ \Leftrightarrow 2x = 490\\ \Leftrightarrow x = 245\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy diện tích của thửa ruộng là \(245\left( {300 - 245} \right) = 13475{m^2}.\)

Phương pháp giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline {ab} \), dựa vào dữ kiện đề bài để tìm a, b từ đó suy ra số tự nhiên cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của số đó là 14. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho là 36.

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline {ab} \;\;\left( {a,\;b \in N*} \right).\)

Tổng hai chữ số của số đó là  \(14 \Rightarrow a + b = 14 \Leftrightarrow b = 14 - a.\)  

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới là \(\overline {ba} \)  lớn hơn số đã cho là 36

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline {ba}  - \overline {ab}  = 36\\ \Leftrightarrow 10b + a - \left( {10a + b} \right) = 36\\ \Leftrightarrow 9b - 9a = 36\\ \Leftrightarrow b - a = 4\\ \Leftrightarrow 14 - a - a = 4\\ \Leftrightarrow 14 - 2a = 4\\ \Leftrightarrow a = 5\;\;\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow b = 14 - 5 = 9\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)   

Vậy số tự nhiên cần tìm là 59.

Phương pháp giải:

Gọi giá cây bút bi là x (đồng), dựa vào dữ kiện đề bài lập phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Giá mua 5 cây bút bi và 3 cây bút chì bằng giá mua 2 cây bút bi và 5 cây bút chì. Giá mua 1 cây bút chì là 11 400 đồng. Hỏi giá cây bút bi là bao nhiêu?

Gọi giá cây bút bi là x (đồng) \(\left( {x > 0} \right).\)

Giá mua 5 cây bút bi là \(5x\) đồng và giá mua 2 cây bút bi là \(2x\) đồng

Giá mua 1 cây bút chì là 11 400 đồng nên giá mua 3 cây bút chì là \(3.11400 = 34200\) đồng và giá mua 5 cây bút chì là \(5.11400 = 57000\) đồng.

Giá mua 5 cây bút bi và 3 cây bút chì bằng giá mua 2 cây bút bi và 5 cây bút chì nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}5x + 34200 = 2x + 57000\\ \Leftrightarrow 3x = 22800\\ \Leftrightarrow x = 7600\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy giá cây bút bi là 7600 đồng.

Phương pháp giải:

Gọi S (km) là độ dài quãng đường AB, tính thời gian đi hết đoạn đường đá và thời gian đi hết đoạn đường nhựa từ đó lập phương trình tính S bởi dữ kiện thời gian đi từ A đến B là 4 giờ.

Lời giải chi tiết:

Một xe ô tô đi từ A đến B gồm một đoạn đường đá và một đoạn đường nhựa. Trên đoạn đường đá xe chạy với vận tốc 30km/h và trên đoạn đường nhựa xe chạy với vận tốc 50km/h. Biết rằng, thời gian đi từ A đến B là 4 giờ. Tính quãng đường AB.

Gọi \(S{\rm{ }}\left( {km} \right)\) là độ dài quãng đường AB.   \(\left( {S > 0} \right).\)

Độ dài đoạn đường đá và độ dài đoạn đường nhựa là: \(\dfrac{S}{2}\;\;\left( {km} \right).\)

Thời gian ô tô đi hết đoạn đường đá là: \(\dfrac{S}{{2.30}} = \dfrac{S}{{60}}\) (giờ)

Thời gian ô tô đi hết đoạn đường nhựa là: \(\dfrac{S}{{2.50}} = \dfrac{S}{{100}}\) (giờ)

Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{S}{{60}} + \dfrac{S}{{100}} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5S + 3S}}{{300}} = 4\\ \Leftrightarrow 8S = 1200\\ \Leftrightarrow S = 150\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy quãng đường AB dài 150km.

Phương pháp giải:

a) Ta có BE  là phân giác của tam giác ABC \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) kết hợp \(AE + CE = AC\) để tính AE , CE.

b) Chứng minh \(\Delta BFC \backsim \Delta BHA\) (g-g) từ đó suy ra đpcm.

c) Sử dụng định lý Ta-let.

Lời giải chi tiết:

Cho tam giác ABC có \(AB = 7cm,BC = 4cm,AC = 6cm\). Kẻ đường phân giác BE của tam giác ABC (\(E \in AC\)).

a) Tính độ dài cạnh AE và CE.

Ta có BE  là phân giác của  \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{7}{4}\) \( \Rightarrow AE = \dfrac{7}{4}CE\)

Mặt khác \(AE + CE = AC = 6\) \( \Rightarrow \dfrac{7}{4}CE + CE = 6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4}CE = 6\\ \Leftrightarrow CE = \dfrac{{24}}{{11}}\;\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow AE = \dfrac{7}{4}.\dfrac{{24}}{{11}} = \dfrac{{42}}{{11}}\left( {cm} \right).\end{array}\)

b) Kẻ \(CF \bot BE\left( {F \in BE} \right)\) và AH vuông góc với đường thẳng BE \(\left( {H \in BE} \right)\). Chứng minh: \(AB.BF = BC.BH\)

Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta BHA\) có:

 \(\angle BFC = \angle BHA = {90^o}\;\left( {gt} \right)\)

\(\angle CBF = \angle ABH\) (BE là phân giác \(\angle B\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta BFC \backsim \Delta BHA\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BH}} = \dfrac{{BC}}{{AB}}\\ \Rightarrow AB.BF = BC.BH\end{array}\)

c) CF cắt đường trung tuyến BD của tam giác ABC tại G. Chứng minh DF đi qua trung điểm của EG

Gọi CF cắt AB tại K.

Ta có BF  là phân giác \(\angle B\) mà \(BF \bot CK\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BCK\) cân tại B (dhnb)

\( \Rightarrow BC = BK < AB\,\,(4 < 7)\,\, \Rightarrow \) K nằm giữa A và B; F nằm giữa B và E.

Xét \(\Delta CKA\) ta có:

D là trung điểm của AC (gt)

F là trung điểm của CK (\(\Delta BCK\) cân tại B)

\( \Rightarrow FD\) là đường trung tuyến của \(\Delta CKA\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DF//AK//AB\,\,\,\\AK = 2DF\end{array} \right.\left( {tc} \right)\)   \( \Rightarrow DF//BK\) mà \(BD \cap FK = \left\{ G \right\}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BK}}{{DF}} = \dfrac{{BG}}{{DG}}\;\;\) (định lý Ta-let).

 Vì BE là phân giác của tam giác ABC \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{AD + ED}}{{CE}} = \dfrac{{AK + BK}}{{BC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{CD + ED}}{{CE}} = \dfrac{{AK + BK}}{{BK}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{CE + 2ED}}{{CE}} = \dfrac{{2DF + BK}}{{BK}}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{2ED}}{{CE}} = \dfrac{{2DF}}{{BK}} + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2ED}}{{CE}} = \dfrac{{2DF}}{{BK}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{CE}}{{ED}} = \dfrac{{BK}}{{DF}}.\end{array}\)  

Mà \(\dfrac{{BK}}{{DF}} = \dfrac{{BG}}{{DG}}\;\;\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{DG}}\)\( \Rightarrow GE//BC\) (định lý Ta-let đảo)

Vì \(DF//AB\) (cmt) mà D là trung điểm của AC (gt) \( \Rightarrow \) DF phải đi qua trung điểm \(I\)  của BC.

Gọi \(J\) là giao điểm của \(EG,\;\;FD.\)

Khi đó theo định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{DE}}{{DC}} = \dfrac{{EJ}}{{CI}}\) \( = \dfrac{{GJ}}{{BI}} = \dfrac{{DG}}{{DB}}.\)

Mà \(BI = CI\)\( \Rightarrow EJ = JG\)  hay \(FD\) đi qua trung điểm của \(EG.\)

Nguồn sưu tầm