Bài 48 trang 46 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{{\sqrt 6 }}} \right).\dfrac{1}{{\sqrt 6 }} =  - 1,5\)

b) \(\left( {\dfrac{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }} =  - 2\)

c) \(\dfrac{{a\sqrt b  + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và \(a \ne b\)

d) \(\left( {1 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với \(a \ge 0\) và \(a \ne 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)\) và các hằng đẳng thức để biến đổi phân tích các tử (mẫu) thành nhân tử ( nếu có thể) để rút gọn.  

Lời giải chi tiết

a) Biến đổi vế trái ta có :

\(\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{{\sqrt 6 }}} \right).\dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \)\(=\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 2 \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {{2^3}{{.3}^3}} }}{3}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - \dfrac{{2.3.\sqrt {2.3} }}{3}} \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{1}} \right)\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right) \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( = \dfrac{1}{2} - 2 =  - 1,5.\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

b) Biến đổi vế trái, ta có :

\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }}\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 7  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 5  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right) . \left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)  

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right) \cdot \left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( = \left( { - \sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( =  - \left( {\sqrt 7  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)\)

\( =  - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \right] =  - 2\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

c) Biến đổi vế trái ta có :

\(\dfrac{{a\sqrt b  + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \) \(\dfrac{{\sqrt a \sqrt a \sqrt b  + \sqrt b \sqrt b \sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\dfrac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }}\)

\( = \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\)

\( = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} = a - b.\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

d) Biến đổi vế trái, ta có :

\(\left( {1 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right)  \) \(=\left( {1 + \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)  \)\(=\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - a\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.