Đề kiểm tra 45 phút chương 1 phần Đại số 9 - Đề số 2

Đề bài

Phần I. Trắc nghiệm

Câu 1 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.

Giá trị của \(\dfrac{{\sqrt {9,8} }}{{\sqrt {1,8} }}\) bằng 

(A) \(\dfrac{{49}}{9}\)                                  (B) \(\dfrac{{49}}{3}\)

(C) \(\dfrac{7}{9}\)                                        (D) \(\dfrac{7}{3}\)

Câu 2 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng

Giá trị của \(\dfrac{{3\sqrt 2  - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6  - 2}}\) bằng

(A) \( - \sqrt 3 \)                                   (B) \( - \sqrt 2 \)

(C) \(\sqrt 3 \)                          (D) \(\sqrt 2 \)

Phần II. Tự luận

Câu 3 (3 điểm). Chứng minh đẳng thức

\(\dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^3} + 2a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{a\sqrt a  + b\sqrt b }} + \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab}  - b} \right)}}{{a - b}} = 3\) với \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,a \ne b\)

Câu 4. (4 điểm). Cho biểu thức

\(N = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\) (với \(x > 0,\,\,x \ne 1\))

a) Rút gọn N

b) Chứng tỏ N luôn dương với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) 

c) Tìm x sao cho N có giá trị bằng \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Lời giải chi tiết

LG Phần trắc nghiệm

Câu 1. Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng kiến thức: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có:

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải:

Ta có : \(\dfrac{{\sqrt {9,8} }}{{\sqrt {1,8} }}\)\( = \sqrt {\dfrac{{9,8}}{{1,8}}}  \)\(= \sqrt {\dfrac{{49}}{9}}  \)\(= \dfrac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{7}{3}\)

Câu 2. Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng kiến thức : Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0\) và \(A \ne {B^2}\), thì:

\(\dfrac{C}{{\sqrt A  \pm B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  \mp B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)

Lời giải:

\(\dfrac{{3\sqrt 2  - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6  - 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2  - 2\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6  + 2} \right)}}{{6 - 4}}\) \( = \dfrac{{3\sqrt {12}  - 2\sqrt {18}  + 6\sqrt 2  - 4\sqrt 3 }}{2}\) \( = \dfrac{{6\sqrt 3  - 6\sqrt 2  + 6\sqrt 2  - 4\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

LG Phần tự luận:

Câu 3:

Phương pháp:

Biến đổi vế trái sao cho bằng kết quả của vế phải.

Lời giải:

ĐKXĐ : \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,a \ne b\)

\(VT=\dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^3} + 2a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{a\sqrt a  + b\sqrt b }} \)\(+ \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab}  - b} \right)}}{{a - b}}\)

\( = \dfrac{{a\sqrt a  - 3a\sqrt b  + 3b\sqrt a  - b\sqrt b  + 2a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}} \)\(+ \dfrac{{3\left( {\sqrt {ab}  - b} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\)

\( = \dfrac{{3a\sqrt a  - 3a\sqrt b  + 3b\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}} \)\(+ \dfrac{{3\sqrt b \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\)

\( = \dfrac{{3\sqrt a \left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}}\)\( + \dfrac{{3\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)

\( = \dfrac{{3\sqrt a }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} + \dfrac{{3\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)

\( = \dfrac{{3\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = 3 = VP.\)

Vậy đẳng thức đã cho là một đẳng thức đúng.

Câu 4:

Phương pháp:

a) Vận dụng các phép biến đổi và các phép tính để rút gọn giá trị của N.

b) Với điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 1\), biện luận để chứng tỏ \(N > 0\)

c) Thay giá trị của \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) vào biểu thức vừa rút gọn ở câu a rồi tìm giá trị của x.

Lời giải:

a) \(N = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\) (với \(x > 0,\,\,x \ne 1\))

\( \Leftrightarrow N = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right) \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow N = \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right] \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow N = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right) \cdot \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x  + 1}}\)

b) Vì \(\sqrt x  > 0{\,\rm{  }}\forall x > 0;x \ne 1\) nên \(\sqrt x  + 1 > 0\)

Suy ra \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x  + 1}} > 0{\,\rm{  }}\forall x > 0;x \ne 1\)

Vậy N luôn dương với mọi \(x > 0;x \ne 1\)

c) \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4.\)

Vậy khi \(N = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\) thì \(x = 4.\)