Các dạng bài công thức cấp số cộng thường gặp và phương pháp giải

Cấp số cộng là một phần kiến thức vô cùng quan trọng trong đại số và khó với nhiều em. Để giúp các em có phương pháp giải các dạng bài tập Admin sẽ chia sẻ phương pháp giải chi tiết, kèm ví dụ minh họa để các em hiểu và nắm rõ. Không chỉ có vậy, Admin còn chia sẻ đến các em cách ghi nhớ các công thức cấp số cộng cực hay và hiệu quả để các em áp dụng. Bắt đầu bài viết ngày hôm nay thôi nào!

Ngoài việc nhớ các công thức cấp số cộng, muốn giải quyết các dạng bài tập về chuyên đề này, các em cần phải nắm được các dạng bài và phương pháp giải. Chi tiết sẽ được Admin chia sẻ như sau:

Các dạng bài tập thường gặp về công thức cấp số cộng

Dạng 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Đối với các bài tập thuộc dạng này, để giải các em áp dụng phương pháp sau:

Dãy số ${{u}_{n}}$ là một cấp số cộng khi ${{u}_{n+1}}~-\text{ }{{u}_{n}}~=\text{ }d$, nó không hề phụ thuộc vào n và d là công sai.
Ba số a, b và c theo thứ tự được lập tạo thành cấp số cộng khi $a+c=2.b$
Để xác định 1 cấp số cộng bất kỳ các em còn cần xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Để giải, các em cần biểu diễn dưới dạng giả thiết của bài toán qua ${{u}_{1}}$ và d.

Ví dụ 1: Khẳng định nào dưới đây là sai?

Dãy số $\frac{1}{2};\frac{1}{{{2}^{2}}};\frac{1}{{{2}^{3}}};...$là một cấp số cộng với ${{u}_{1}}=\frac{1}{2};d=\frac{1}{2}$và n = 3
Dãy số $-\frac{1}{2};\text{ }0,\text{ }\frac{1}{2};\text{ }1;\text{ }\frac{3}{2};...$ là một cấp số cộng với ${{u}_{1}}=\frac{-1}{2}$và $d=\frac{1}{2}$
Dãy số $0,1;\text{ }0,01;\text{ }0,001;\text{ }0,0001;....$ không phải là một cấp số cộng
Dãy số $-2;\text{ }-2;\text{ }-2;\text{ }-2,...$ là cấp số cộng với ${{u}_{1}}~=\text{ }-2$và $d=0$

Đáp án: Khẳng định 1 sai.

Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng với ${{u}_{1}}~=\text{ }-3,\text{ }{{u}_{6}}~=\text{ }27$, hãy tính công sai d?

d = 5
d = 6
d = 7
d = 8

=> Đáp án đúng là 2. d = 6

Bởi ta có: ${{u}_{6}}~=\text{ }27\Leftrightarrow {{u}_{1}}~+\text{ }5d\text{ }=\text{ }27\Leftrightarrow -3\text{ }+\text{ }5d\text{ }=\text{ }27\Leftrightarrow d\text{ }=\text{ }6$

Dạng 2: Tìm điều kiện để cho dãy được lập là cấp số cộng

Còn dạng bài tìm điều kiện để cho dãy được lập là một cấp số cộng các em sẽ áp dụng phương pháp giải như sau: Dựa vào a, b và c theo thứ tự đó lập thành công số cộng với công thức là a + c = 2b.

Ví dụ 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Vậy đẳng thức nào dưới đây là đúng?

${{a}^{2}}~-\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }-\text{ }2bc$
${{a}^{2}}~+\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2cb$
${{a}^{2}}~-\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }ab\text{ }-\text{ }bc$
${{a}^{2}}~+\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }-\text{ }2bc$

=> Đáp án đúng là 1.

Bởi: a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi:

$b\text{ }-\text{ }a\text{ }=\text{ }c\text{ }-\text{ }b\Rightarrow {{\left( b\text{ }-\text{ }a \right)}^{2}}~=\text{ }{{\left( c\text{ }-\text{ }b \right)}^{2}}~\Leftrightarrow {{a}^{2}}~-\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }-\text{ }2bc$

Ví dụ 4: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

${{a}^{2}}~-\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2bc\text{ }-\text{ }2ac$
${{a}^{2}}~+\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2bc\text{ }+\text{ }2ac$
${{a}^{2}}~-\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }-\text{ }2bc\text{ }+\text{ }2ac$
${{a}^{2}}~+\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2bc\text{ }-\text{ }2ac$

=> Đáp án đúng là 4.

Bởi: a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi:

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}~+\text{ }{{c}^{2}}~=\text{ }2{{c}^{2}}\text{ }+\text{ }2ab\text{ }-\text{ }2bc\text{ }=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2c\left( c\text{ }-\text{ }b \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2ab\text{ }+\text{ }2c\left( b\text{ }-\text{ }a \right)$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}=\text{ }2ab\text{ }+\text{ }2bc\text{ }-2ac$

Dạng 3: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Với dạng bài tập này, cách để giải các em sẽ sử dụng tính chất của cấp số cộng, sau đó biến đổi một chút để tính công sai d.

Ví dụ 5: Cho một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{1}}~=\text{ }3$ và ${{u}_{2}}~=9$. Hỏi công sai của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Giải:

Công sai của cấp số cộng ${{u}_{n}}$ là: $d\text{ }=\text{ }{{u}_{2}}~-\text{ }{{u}_{1}}~=\text{ }9\text{ }-\text{ }3\text{ }=\text{ }6$.

Dạng 4: Tính số hạng của cấp số cộng

Đây cũng là một trong những dạng toán mà các em thường gặp khi học về công thức cấp số cộng trong chương trình toán 11. Phương pháp giải đối với dạng bài tập này là: Các em sẽ sử dụng công thức tính số hạng tổng quát ${{u}_{n}}~=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }\left( n-1 \right).d$.

Ví dụ 6: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=1$ và $d=-3$. Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Giải:

Số hạng tổng quát:

${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d=1+(n-1)\cdot (-3)=-3n+4$.

Dạng 5: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Đối với dạng bài này, để giải các em sẽ sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng là:

${{S}_{n}}~=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }{{u}_{2}}~+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{u}_{n}}~=\text{ }\frac{\left( {{u}_{1}}~+\text{ }{{u}_{n}} \right).n\text{ }}{2}=\text{ }\left[ 2.{{u}_{1}}~+\text{ }\left( n-1 \right).d \right].\frac{n}{2}$

Ví dụ 7: Cho một cấp số cộng ${{u}_{n}}$có ${{u}_{5}}~=\text{ }-10,\text{ }{{u}_{15}}~=\text{ }60$. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là bao nhiêu?

Giải:

Ta có ${{u}_{5}}~=~\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }4d$ và ${{u}_{15}}~=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }14d$

Từ giả thiết ta có ${{u}_{5}}~=~\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }4d\Leftrightarrow -10\text{ }=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }4d$ và ${{u}_{15}}~=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }14d\Leftrightarrow 60\text{ }=\text{ }{{u}_{1}}~+\text{ }14d$

$\Rightarrow \text{ }{{u}_{1}}~=\text{ }-38$và $d=7$

Tổng 20 số hạng đầu tiên trong cấp số cộng u_nlà:

${{S}_{n}}~=\text{ }\left[ 2.{{u}_{1}}~+\text{ }\left( n-1 \right).d \right].\frac{n}{2}=\text{ }\left[ 2.\left( -38 \right)\text{ }+\text{ }\left( 20\text{ }-\text{ }1 \right).7 \right].\frac{20}{2}=\text{ }570$

Các công thức cấp số cộng khá khó nhớ, nhưng nếu các em có thể nhớ được chi tiết và chuẩn xác thì việc tính toán và giải quyết các bài tập cực dễ dàng. Vì vậy Admin sẽ chỉ cho các em một vài mẹo hiệu quả ghi nhớ công thức tính cấp số cộng cực hay. Cụ thể như sau:

Cách ghi nhớ các công thức cấp số cộng cực hay và hiệu quả

Nhớ công thức bằng cách học thuộc, cách này theo nhiều em thì không thể nhớ được và nhớ không hiệu quả. Tuy nhiên Admin muốn chia sẻ bí quyết học thuộc là các em cần lưu ý đến thời điểm học. Học lúc này sẽ dễ ghi nhớ công thức cấp số cộng nhất? Đó chính là vào buổi sáng sớm khi não bộ chưa ghi nhớ các dữ liệu trong ngày và trước khi ngủ. Đây chính là thời điểm giúp bạn nhớ công thức lâu hơn và hiệu quả hơn.
Ghi công thức vào giấy nhớ vào dán vào góc học tập, cửa ra vào, trên cửa tủ lạnh. Mỗi lần các em nhìn thấy, hãy đọc lại để nhắc lại, đây cũng là cách để các em nhớ công thức nhanh, hiệu quả.
Tạo nhắc nhở trên máy tính hoặc điện thoại thông minh mà các em có. Trong quá trình sử dụng máy tính hoặc điện thoại, các em sẽ nhận được thông báo về công thức cấp số cộng. Mỗi lần được nhắc các em hãy đọc lại để ghi nhớ kiến thức nhé!
Làm các dạng bài tập vận dụng công thức cấp số cộng. Đây là cách vừa giúp các em nhớ công thức mà còn rèn luyện được kỹ năng làm bài. Cách này vô cùng hiệu quả và được nhiều học sinh giỏi sử dụng. Các em nên chọn luyện tập các dạng bài theo cấp độ từ cơ bản đến nâng cao để xây dựng kỹ năng giải bài tập được tốt nhất.

Như vậy, bài viết trên Admin đã chia sẻ những dạng bài thường gặp về công thức cấp số cộng. Không những vậy các em còn nắm được cách ghi nhớ công thức nhanh, hiệu quả và có thể giải quyết các bài tập thực tốt. Chúc các em luôn đạt kết quả cao với phần nội dung về cấp số cộng trong chương trình toán 11.