Cách ghi nhớ và các dạng bài tập liên quan đến hằng đẳng thức số 6: a3 + b3

$A^3+B^3$  - Một trong 7 hằng đẳng thức bắt buộc các em học sinh phải nhớ khi học Toán lớp 7 ôn lên lớp 8. Hằng đẳng thức số 1, 2, 3 nghe có vẻ đơn giản nhưng đến các hằng đẳng thức số 5, 6, 7 thì việc ghi nhớ lại trở nên khó khăn hơn. 

Đặc biệt, cách áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán lại càng khó khăn hơn khi các em không hiểu bản chất vấn đề. 

Cùng cô thử ghi nhớ và các dạng bài tập liên quan đến hằng đẳng thức số 6: $a^3+b^3$ để xem có giúp các em nhiều hơn khi học Toán không nhé!

a³ + b³   hằng đẳng thức số 6

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Công thức: $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)$

Hằng đẳng thức 7 cũng tương tự: 

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Công thức: $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$

Chứng minh a³ + b³  = (a + b)(a² - ab + b²)

Để hiểu được bản chất và biết cách áp dụng cách em cần phải chứng minh được hằng đẳng thức này. Hãy thử nhắc lại 1 lần cách chứng minh hằng đẳng thức số 6 cùng cô nhé!

Xét vế phải của hằng đẳng thức

$\begin{aligned} & V P=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\ & V P=a^3-a^2 b+a^2 b+a^2 b-a^2 b+b^3\end{aligned}$

VP = $A^3+B^3$ = VT => điều phải chứng minh

Cách chứng minh hằng đẳng thức số 7 cũng tương tự:

$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)$

Xét vế phải của hằng đẳng thức

$\begin{aligned} & V P=a^3+b^3=(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right) \\ & V P=a^3+a^2 b-a^2 b-a^2 b+a^2 b-b^3 \\ & V P=a^3-b^3=V T=>\text { điều phải chứng minh }\end{aligned}$

Các dạng bài tập liên quan đến hằng đẳng thức a³ + b³ 

Trong quá trình học toán, hằng đẳng thức là cách giúp biến đổi biểu thức được áp dụng nhiều nhất. Hiện nay, có 3 dạng bài tập liên quan đến hằng đẳng thức số 6 cũng như các hằng đẳng thức khác bao gồm: 

Dạng 1. Biến đổi biểu thức để rút gọn biểu thức

Các em cần biến các biểu thức phức tạp thành các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn lại. Hiện nay có rất nhiều bài tập liên quan đến dạng đề này cần dùng đến hằng thức số 6. 

Ví dụ: Viết biểu thức $(x+5)\left(x^2-5 x+25\right)$ dưới dạng lập phương của một tổng.

Ta có:  $(x+5)\left(x^2-5 x+25\right)$

$\begin{aligned} & =(x+5)\left(x^2-x .5+5^2\right) \\ & =x^3+5^3 \\ & =x^3+125\end{aligned}$

Dạng 2. Tìm giá trị của X

Biến đổi biểu thức thành những biểu thức phù hợp

Áp dụng hằng đẳng thức để biểu thức ngắn gọn nhất

Tìm giá trị x theo đúng yêu cầu đề bài

Ví dụ: Tìm giá trị của x biết: $x^2(x-3)-4 x+12=0$

Lời giải

$\begin{aligned} & x^2(x-3)-4 x+12=0 \\ & \Leftrightarrow x^2(x-3)-4(x-3)=0 \\ & \Leftrightarrow(x-3)\left(x^2-4\right)=0 \\ & \Leftrightarrow(x-3)(x-2)(x+2)=0\end{aligned}$

$\Leftrightarrow(x-3)=0$ hoặc $(x-2)=0$ hoặc $(x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=2$ hoặc $x=-2$

$\Rightarrow$ Kết luận, vậy nghiệm : $x=3 ; x=2 ; x=-2$

Dạng 3. Chứng minh biểu thức đúng

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau:

Chứng minh đẳng thức sau đúng: $(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)$

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

$\begin{aligned} & \text { Ta có: VT }=(a+b)^3-(a-b)^3 \\ & \left(a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right)-\left(a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3\right) \\ & a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3-a^3+3 a^2 b-3 a b^2+b^3 \\ & 6 a^2 b+2 b^3 \\ & 2 b\left(3 a^2+b^2\right)=V P(đ p c m) . \\ & \Rightarrow \text { Kết luận, vậy: }(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)\end{aligned}$

Kết luận

Việc ghi nhớ và áp dụng hằng đẳng thức khi giải toán là vô cùng quan trọng. Đây là công cụ biến đổi đại số tốt và cực hữu ích. Cô khuyên các em nên chăm chỉ thực hành, áp dụng công thức này vào trong các bài toán thực tế để có thể nhớ lâu hơn nhé. 

Dù là kiến thức lớp 8, song đây lại là hành trang để các em làm các đề toán khó hơn ở các cấp cao hơn. Vì vậy, hãy cố gắng ghi nhớ và sử dụng chúng một cách thật nhuần nhuyễn. Cùng theo dõi cô để biết thêm nhiều cách giảng các bài toán áp dụng hằng đẳng thức nhé. 

Gửi ngay những đề toán mà các em đang vướng mắc ở phần hằng đẳng thức vào bên dưới comment để được hỗ trợ nhé.