Công thức hạ bậc là một khái niệm trong toán học, nó được sử dụng để tìm kiếm một công thức đại diện cho một đa thức có bậc cao hơn. Đây là quá trình giảm bậc của đa thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số.
Muốn học tốt phần này, các em cần nắm rõ công thức và cách áp dụng vào để giải bài tập. Vậy thì, đừng bỏ qua bài viết dưới đây để có thể thành thạo phần công thức hạ bậc trong Toán học nhé!
Công thức hạ bậc là gì?
Hạ bậc lượng giác là tìm cách để đưa những hàm số lượng giác có bậc cao về bậc thấp hơn nó. Có một số công thức hạ bậc khác nhau, tùy thuộc vào kiểu đa thức mà các em đang gặp phải. Dưới đây là các công thức hạ bậc phổ biến cho một số kiểu đa thức:
- Đa thức bậc hai: Để hạ bậc đa thức bậc hai ax2 + bx + c, ta sử dụng công thức: x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a. Công thức này được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
- Đa thức bậc ba: Để hạ bậc đa thức bậc ba ax3 + bx2 + cx + d, ta có thể sử dụng một trong những phương pháp sau:
- Phương pháp chia đa thức: Chia đa thức cho (x-r), với r là một số thực hoặc số phức sao cho đa thức được chia hết. Khi đó, đa thức sẽ giảm bậc xuống một đơn vị.
- Phương pháp nghiệm kép: Nếu đa thức có nghiệm kép, ta có thể sử dụng công thức: x = -b/(3a), với b và a lần lượt là hệ số của x^2 và x^3.
- Sử dụng công thức Cardano: Đây là một công thức phức tạp hơn, nhưng nó cho phép tìm ra tất cả các nghiệm của đa thức bậc ba.
- Đa thức bậc cao hơn: Để hạ bậc đa thức bậc cao hơn, ta có thể sử dụng một trong những phương pháp sau:
- Phương pháp chia đa thức: Tương tự như trong trường hợp đa thức bậc ba, ta có thể chia đa thức cho một đa thức bậc nhỏ hơn để giảm bậc.
- Sử dụng các công thức hạ bậc đặc biệt: Để giảm bậc của một số đa thức đặc biệt như đa thức Chebyshev, ta có thể sử dụng các công thức hạ bậc đặc biệt.
- Sử dụng phương pháp biến đổi đa thức: Đây là một phương pháp áp dụng các phép biến đổi đại số như đổi biến, thay thế biến số và thực hiện các phép nhân và chia đa thức để giảm bậc của đa thức.
Các công thức hạ bậc có thể được áp dụng để giải các phương trình và bài toán đa thức khác nhau. Tuy nhiên, khi làm việc với đa thức bậc cao, việc tìm ra công thức hạ bậc có thể trở nên khó khăn và phức tạp, và trong một số trường hợp không có công thức hạ bậc cụ thể.
Tổng hợp các công thức hạ bậc
Ở trên, Admin đã đưa ra cho các em một số các công thức hạ bậc cho các loại đa thức phổ biến. Trong đó lưu ý, không cần công thức hạ bậc vì đa thức bậc nhất đã là bậc thấp nhất của đa thức.
Đối với đa thức bậc bốn có thể sử dụng phương pháp biến đổi đa thức để đưa đa thức về dạng đa thức bậc ba hoặc đa thức bậc ba hai và sử dụng các công thức hạ bậc phù hợp. Đa thức bậc năm sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc năm để tìm nghiệm và giảm bậc đa thức.
Ngoài ra, khi giải quyết các bài toán đa thức bậc cao hơn, có thể sử dụng phương pháp chia đa thức và các công thức hạ bậc đặc biệt tương ứng với từng loại đa thức để giảm bậc đa thức. Ngoài ra, việc sử dụng các công cụ tính toán và phần mềm đại số giúp giải quyết các bài toán đa thức hiệu quả hơn.
Một số công thức hạ bậc cụ thể như sau:
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: sin 2x = cos 2 x + cos 2 3x
Lời giải
Biến đổi phương trình về dạng:
1 - cos2x/2 = 1 + cos 4x/2 = 0
<=> 2cos23x + (cos4x + cos2x) = 0
<=> 2cos23x + 2cos3x . cosx = 0
<=> (cos3x + cosx) . cos3x = 0
<=> 2cos2x . cosx . cos3x = 0
Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: sin3a + cos3a = 0
Lời giải
(1 – cos3a)/2 + cos3a = 0
⇔1 – cos3a + 2cos3a = 0
⇔1 + cos3a = 0
⇔ cos3a = -1
⇔3a = π + k2π
Vậy nghiệm của phương trình lượng giác này là 3a = π + k2π
Ví dụ 3: Hãy giải phương trình sin2x = cos2x + cos25x
Lời giải
Biến đổi phương trình về dạng:
(1 – cos2x)/2 = (1 + cos4x)/2 + cos25x
⇔ 2cos25x + (cos4x + cos2x) = 0
⇔ 2cos25x + 2cos3x.cos5x = 0
⇔ (cos3x + cosx) cos5x = 0
⇔ 2cos2x.cosx.cos5x = 0
Ví dụ 4: giải phương trình lượng giác sau: sin 2a + cos 2a = 0
sin 2a + cos 2a = 0
⇔ 1 - cos 2a/2 + cos 2a = 0
⇔ 1 - cos2a + 2cos 2a = 0
⇔ 1 + cos 2a = 0
⇔ cos 2a = - 1
⇔ 2a = π+ k2π
⇔ a = π/2 + kπ
Vậy nghiệm của phương trình lượng giác là π/2 + kπ
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A = (sinx + sin3x + sin5x)/(cosx + cos3x + cos5x)
Áp dụng các công thức:
- sin a + sinb = 2sin (a+b)/2.cos (a-b)/2
- cosa + cosb = 2cos (a+b)/2. cos (a-b)/2
- tan a = sina/cosa
Trả lời
Ta có:
Các em có thể tham khảo thêm về công thức hạ bậc lượng giác tại bài viết: Bí kíp “vàng” giúp các em học tốt lượng giác và luôn đạt điểm cao
Công thức hạ bậc được sử dụng để giảm bậc của một đa thức, điều này có tác dụng giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức một cách dễ dàng hơn. Việc giảm bậc đa thức giúp ta giảm độ phức tạp của các phép tính và tìm ra các nghiệm của đa thức một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn.
Vậy nên các em cần phải ghi nhớ các công thức hạ bậc nếu muốn học tốt phần toán lượng giác. Hãy chăm chỉ thực hành và theo dõi admin nếu muốn học toán tốt hơn nhé!
