Công thức hạ bậc: Tổng hợp công thức và bài tập vận dụng

Công thức hạ bậc là một khái niệm trong toán học, nó được sử dụng để tìm kiếm một công thức đại diện cho một đa thức có bậc cao hơn. Đây là quá trình giảm bậc của đa thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số. 

Muốn học tốt phần này, các em cần nắm rõ công thức và cách áp dụng vào để giải bài tập. Vậy thì, đừng bỏ qua bài viết dưới đây để có thể thành thạo phần công thức hạ bậc trong Toán học nhé!

Công thức hạ bậc là gì?

Hạ bậc lượng giác là tìm cách để đưa những hàm số lượng giác có bậc cao về bậc thấp hơn nó.

Tổng hợp các công thức hạ bậc 

Công thức hạ bậc bậc hai

$$\begin{aligned}& \cos a= \pm \sqrt{\frac{1+\cos 2 a}{2}} \\& \sin a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{2}} \\& \tan a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{1+\cos 2 a}}\end{aligned}$$

Công thức hạ bậc bậc 3

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \tan a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{3 \cos a+\cos 3 a}}\end{aligned}$$

Công thức hạ bậc bậc bốn

$$\begin{aligned}& \sin a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a-4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}} \\& \cos a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a+4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}}\end{aligned}$$

Công thức hạ bậc bậc 5

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[5]{\frac{\sin 5 a-5 \sin 3 a+10 \sin a}{16}} \\& \cos a=\sqrt[5]{\frac{\cos 5 a+5 \cos 3 a+10 \cos a}{16}}\end{aligned}$$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: $\sin ^2 x=\cos ^2 x+\cos ^2 3 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$$\begin{aligned}& \frac{1- \cos2 x}{2} =\frac{1+\cos 4 x}{2} + \cos ^2 3 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+2 \cos 3 x \cdot \cos x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cdot \cos 3 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x \cdot \cos 3 x=0\end{aligned}\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 3x = 0\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\3 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\end{array}\right.\right.\right.$$

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^2 {\frac{3 a}{2}}+\cos 3 a=0$

Lời giải

$$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 3 a}{2}+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 3 a+2 \cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 3 a=-1 \\& \Leftrightarrow 3 a=\pi+k 2 \pi& \Leftrightarrow a=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác này là $\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}$

Ví dụ 3: Hāy giải phương trình $\sin ^2 x=\cos ^2 2x+\cos ^2 5 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 2 x}{2} = \frac{1+\cos 4 x}{2}+\cos ^2 5 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+2 \cos 3 x \cdot \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x\cdot \cos 5 x=0\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 5x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\5 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{5}\end{array}\right.\right.$

Ví dụ 4: Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^ 2 a+\cos 2 a=0$

$$\begin{aligned}& \sin^2 a+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow \frac{1-\cos 2 a}{2}+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 2 a+2 \cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 2 a=-1 \\& \Leftrightarrow 2 a=\pi+k 2 \pi \\& \Leftrightarrow a= \frac{\pi}{2}+k \pi\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác là $\frac{\pi}{2}+k \pi$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x}$

Áp dụng các công thức:

- $\sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}$

- $\cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a - b}{2}$

- $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

Trả Iời

Ta có:

$$\begin{aligned}& \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x \\& =(\sin 5 x+\sin x)+\sin 3 x \\& =2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cdot \cos \frac{5 x-x}{2}+\sin 3 x \\& =2 \sin 3 x \cos 2 x+\sin 3 x \\& =\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)(1) \\& \cos x+\cos 3 x+\cos 5 x \\& =(\cos 5 x+\cos x)+\cos 3 x \\& =2 \cos \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}+\cos 3 x \\& =2 \cos 3 x \cdot \cos 2 x+\cos 3 x \\& =\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)(2)\end{aligned}$$

Từ (1) và (2) ta có:

$A=\frac{\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)}{\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)}=\frac{\sin 3 x}{\cos 3 x}=\tan 3 x$

Vậy $A=\tan 3 x$.

Các em có thể tham khảo thêm về công thức hạ bậc lượng giác tại bài viết: Bí kíp “vàng” giúp các em học tốt lượng giác và luôn đạt điểm cao

Xem thêm: Công thức lượng giác lớp 10 và Tổng hợp đầy đủ các mẹo ghi nhớ

Vậy nên các em cần phải ghi nhớ các công thức hạ bậc nếu muốn học tốt phần toán lượng giác. Hãy chăm chỉ thực hành và theo dõi admin nếu muốn học toán tốt hơn nhé!