/

/

Công thức hạ bậc: Tổng hợp công thức và bài tập vận dụng

Admin FQA

21/02/2023, 10:11

11861

Công thức hạ bậc là một khái niệm trong toán học, nó được sử dụng để tìm kiếm một công thức đại diện cho một đa thức có bậc cao hơn. Đây là quá trình giảm bậc của đa thức bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số. 

Muốn học tốt phần này, các em cần nắm rõ công thức và cách áp dụng vào để giải bài tập. Vậy thì, đừng bỏ qua bài viết dưới đây để có thể thành thạo phần công thức hạ bậc trong Toán học nhé!

Hạ bậc lượng giác là tìm cách để đưa những hàm số lượng giác có bậc cao về bậc thấp hơn nó.

Công thức hạ bậc bậc hai

$$\begin{aligned}& \cos a= \pm \sqrt{\frac{1+\cos 2 a}{2}} \\& \sin a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{2}} \\& \tan a= \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2 a}{1+\cos 2 a}}\end{aligned}$$

 

  • Công thức hạ bậc bậc 3

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \sin a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{4}} \\& \tan a=\sqrt[3]{\frac{3 \sin a-\sin 3 a}{3 \cos a+\cos 3 a}}\end{aligned}$$

 

  • Công thức hạ bậc bậc bốn

$$\begin{aligned}& \sin a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a-4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}} \\& \cos a= \pm \sqrt[4]{\frac{\cos 4 a+4 \cos s 2 a+\frac{6}{2}}{8}}\end{aligned}$$

  • Công thức hạ bậc bậc 5

$$\begin{aligned}& \sin a=\sqrt[5]{\frac{\sin 5 a-5 \sin 3 a+10 \sin a}{16}} \\& \cos a=\sqrt[5]{\frac{\cos 5 a+5 \cos 3 a+10 \cos a}{16}}\end{aligned}$$

Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: $\sin ^2 x=\cos ^2 x+\cos ^2 3 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$$\begin{aligned}& \frac{1- \cos2 x}{2} =\frac{1+\cos 4 x}{2} + \cos ^2 3 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 3 x+2 \cos 3 x \cdot \cos x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cdot \cos 3 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x \cdot \cos 3 x=0\end{aligned}\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 3x = 0\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\3 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\end{array}\right.\right.\right.$$

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^2 {\frac{3 a}{2}}+\cos 3 a=0$

Lời giải

$$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 3 a}{2}+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 3 a+2 \cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 3 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 3 a=-1 \\& \Leftrightarrow 3 a=\pi+k 2 \pi& \Leftrightarrow a=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác này là $\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3}$

Ví dụ 3: Hāy giải phương trình $\sin ^2 x=\cos ^2 2x+\cos ^2 5 x$

Lời giải

Biến đổi phương trình về dạng:

$\begin{aligned}& \frac{1-\cos 2 x}{2} = \frac{1+\cos 4 x}{2}+\cos ^2 5 x \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+(\cos 4 x+\cos 2 x)=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos ^2 5 x+2 \cos 3 x \cdot \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow(\cos 3 x+\cos x) \cos 5 x=0 \\& \Leftrightarrow 2 \cos 2 x \cdot \cos x\cdot \cos 5 x=0\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } \cos 2 x = 0\\\cos x = 0 \\\cos 5x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array} { l } 2 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\\x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\5 x = \frac { \pi } { 2 } + k \pi\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z}) \\x=\frac{\pi}{10}+\frac{k \pi}{5}\end{array}\right.\right.$

Ví dụ 4: Giải phương trình lượng giác sau: $\sin^ 2 a+\cos 2 a=0$

$$\begin{aligned}& \sin^2 a+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow \frac{1-\cos 2 a}{2}+\cos 2a=0 \\& \Leftrightarrow 1-\cos 2 a+2 \cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow 1+\cos 2 a=0 \\& \Leftrightarrow \cos 2 a=-1 \\& \Leftrightarrow 2 a=\pi+k 2 \pi \\& \Leftrightarrow a= \frac{\pi}{2}+k \pi\end{aligned}$$

Vậy nghiệm của phương trình lượng giác là $\frac{\pi}{2}+k \pi$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x}$

Áp dụng các công thức:

- $\sin a+\sin b=2 \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}$

- $\cos a+\cos b=2 \cos \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a - b}{2}$

- $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

Trả Iời

Ta có:

$$\begin{aligned}& \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x \\& =(\sin 5 x+\sin x)+\sin 3 x \\& =2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cdot \cos \frac{5 x-x}{2}+\sin 3 x \\& =2 \sin 3 x \cos 2 x+\sin 3 x \\& =\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)(1) \\& \cos x+\cos 3 x+\cos 5 x \\& =(\cos 5 x+\cos x)+\cos 3 x \\& =2 \cos \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}+\cos 3 x \\& =2 \cos 3 x \cdot \cos 2 x+\cos 3 x \\& =\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)(2)\end{aligned}$$

Từ (1) và (2) ta có:

$A=\frac{\sin 3 x(2 \cos 2 x+1)}{\cos 3 x(2 \cos 2 x+1)}=\frac{\sin 3 x}{\cos 3 x}=\tan 3 x$

Vậy $A=\tan 3 x$.

Các em có thể tham khảo thêm về công thức hạ bậc lượng giác tại bài viết: Bí kíp “vàng” giúp các em học tốt lượng giác và luôn đạt điểm cao

Vậy nên các em cần phải ghi nhớ các công thức hạ bậc nếu muốn học tốt phần toán lượng giác. Hãy chăm chỉ thực hành và theo dõi admin nếu muốn học toán tốt hơn nhé!

Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bài viết liên quan
new
Tan chảy với các câu thả thính bằng tiếng Anh

Bạn muốn thả thính CRUSH bằng những câu tiếng Anh cực chất khiến nàng đổ gục và cảm thấy ngây ngất. Nhưng bạn lo lắng mình sẽ gặp một số lỗi khi viết tiếng Anh. Để giúp bạn không phải lo lắng về vấn đề này thì dưới đây sẽ là những câu thả bằng tiếng Anh làm tan chảy trái tim CRUSH. Do đó bạn có thể thoải mái lựa chọn câu nào mình thích nhất để tặng người thương thầm nhớ trộm.

Admin FQA

23/07/2024

new
Các cấu trúc và quy tắc cần nắm khi sử dụng "Dispite"

Cấu trúc "despite" trong tiếng Anh được sử dụng để chỉ sự tương phản giữa các ý trong câu. Tuy nhiên, cái mà theo sau "despite" thường làm cho nhiều sinh viên lẫn lộn vì có nhiều cấu trúc ngữ pháp tương tự.

Admin FQA

23/07/2024

new
Tổng hợp các công thức ngữ pháp với would rather

Khi bạn muốn thể hiện các mong muốn, sở thích của bản thân trong tiếng Anh mà không muốn sử dụng I like, I want thì cấu trúc would rather là một gợi ý cho bạn. Cấu trúc này có cách sử dụng khác nhau tùy thuộc vào các thì trong câu. Vậy bạn đã biết công thức và cách sử dụng cấu trúc này chưa? Theo dõi bài viết ngay để cùng Langmaster giải đáp tất tần tật mọi thứ về cấu trúc would rather bạn nhé!

Admin FQA

23/07/2024

new
Cách ghi nhớ một cách hiệu quả quy tắc trật tự tính từ osascomp trong tiếng Anh

Trật tự tính từ trong tiếng Anh là quy định thứ tự của các tính từ trong cùng một cụm danh từ. Trật tự tính từ trong tiếng Anh được sắp xếp theo quy tắc OSASCOMP như sau: Opinion → Size → Age → Shape → Color → Origin → Material → Purpose.

Admin FQA

23/07/2024

new
Learn và Study: Sự khác biệt giữa learn và study

Learn và Study là hai từ vựng quen thuộc đối với tất cả người học Tiếng Anh, dù cho bạn mới theo học những lớp cơ bản hay thậm chí là nâng cao. Dù hai từ này đều mang ý nghĩa “học tập”, nhưng Study và Learn lại có cách dùng khác nhau tùy vào từng ngữ cảnh nhất định. Chính vì vậy, đôi khi điều này sẽ khiến các bạn bối rối và không biết áp dụng thế nào vào bài làm. Vậy Learn là gì? Study là gì? Hai từ này có sự khác biệt như thế nào và được áp dụng ra sao? Bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn nhé!

Admin FQA

23/07/2024

new
Cung hoàng đạo nào học giỏi tiếng Anh nhất?

Mỗi cung hoàng đạo đều có sự nổi trội về đặc điểm và tính cách. Điều này ảnh hưởng ít nhiều đến khả năng học tập và làm việc của họ. Cung nào học giỏi tiếng Anh nhất là điều mà nhiều người thắc mắc để biết mình có năng khiếu với môn học này không. Tìm hiểu chi tiết về đặc trưng của từng cung hoàng đạo sẽ giúp bạn có lời giải đáp.

Admin FQA

23/07/2024

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi