Hướng dẫn cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng đơn giản và nhanh nhất

Góc giữa 2 mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng trong toán hình học của lớp 11 và lớp 12. Để giúp các em có thể giải các bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng, Admin sẽ chia sẻ toàn bộ kiến thức lý thuyết, kèm nhiều kiến thức bổ ích có liên quan. Cùng đi vào bài viết để nắm trọn kiến thức trọng tâm giúp các em học toán hình tốt hơn nhé!

Lý thuyết góc giữa 2 mặt phẳng

Muốn giải được các dạng bài tập về góc giữa 2 đường thẳng, các em cần phải nắm vững kiến thức lý thuyết trọng tâm về khái niệm, công thức tính. Cụ thể như sau:

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng lớp 11

Góc giữa 2 mặt mặt là góc được tạo nên từ 2 đường thẳng với 2 mặt phẳng, hiểu đơn giản thì đó là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là góc khối và nó được giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Số đo góc giữa 2 mặt phẳng chính bằng số đo của góc giữa 2 đường thẳng trên 2 mặt phẳng có cùng giao tuyến và trực giao giữa 2 mặt phẳng với nhau.

Hình minh họa góc giữa 2 mặt phẳng

Với định nghĩa trên, góc giữa 2 mặt phẳng sẽ có những tính chất như sau:

• Góc giữa 2 mặt phẳng song song sẽ bằng 0 độ
• Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau sẽ bằng 0 độ.

Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

Công tính tính góc giữa 2 mặt phẳng như sau:

$\operatorname{Cos} \varphi=|\operatorname{Cos} \alpha|=\frac{\left|n_p \cdot n_Q\right|}{\left|n_p\right| \cdot\left|n_Q\right|}=\frac{\left|A_1 \cdot A_2+B_1 \cdot B_2+C_1 \cdot C_2\right|}{\sqrt{A_1{ }^2+B_1{ }^2+C_1{ }^2} \cdot \sqrt{A_2{ }^2+B_2{ }^2+C_2{ }^2}}$

Các phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Trong quá trình giải bài tập, ngoài công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng được Admin chia sẻ ở trên, các em còn có thể áp dụng 2 phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng như sau:

Phương pháp 1: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng các em sẽ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Đặc biệt là sử dụng định lý hàm số Sin và hàm số Cos. Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải này, các em cùng Admin đi vào ví dụ cụ thể dưới đây:

Ví dụ 1: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là ABCD có độ dài các cạnh SA = SB = SC = SD = a. Tính Cos của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Cách giải:

Hình minh họa ví dụ 1

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SA $\Rightarrow$ ∆ SAD và ∆ SAB đều

$\Rightarrow$ Các cạnh BI ⊥ SA và DI ⊥ SA

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác BID ta có:

$\operatorname{Cos} \widehat{B I D}=\frac{I B^2+I D^2-B D^2}{2 \cdot I B \cdot I D}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2-\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a}$

=> Góc (SAB, SAD) = $\frac{1}{3}$

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c

Khi các em giải bài toán về góc giữa 2 mặt phẳng theo phương pháp dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c, theo đó (Q) sẽ giao với (R) bằng a, (P) giao với (R) bằng b. Từ đó các em có thể suy ra góc (P) = góc (Q) = góc (a,b).

Ví dụ 2: Cho một hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AB = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA có độ dài là $a \sqrt{3}$. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)?

Cách giải:

Hình minh họa ví dụ 2

Theo đề bài ta có: ABCD là nửa lục giác đều $\Rightarrow$ AD = DC = CB = a

Ta dựng một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Dựng tiếp AH vuông góc với CD tại H trong mặt phẳng (ABCD) $\Rightarrow$ CD ⊥ (SAH)

Dựng tiếp AP vuông góc với SH trong mặt phẳng (SAH) $\Rightarrow$ AP ⊥ (SCD)

Dựng thêm đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Dựng đường thẳng AQ ⊥ SC trong mặt phẳng (SAC)

Vì BC ⊥ AC, BC ⊥ SA $\Rightarrow$ BC ⊥ (SAC) $\Rightarrow$ BC ⊥ AQ

Theo tính chất bắc cầu ta có: AQ ⊥ (SBC)

Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) sẽ lần lượt vuông góc với AP và AQ, ta có:

$\begin{aligned} & A H=\sqrt{A D^2-H D^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a \sqrt{3}}{2} \\ & \Rightarrow \frac{1}{A P^2}=\frac{1}{A S^2}+\frac{1}{A H^2} \\ & \Rightarrow A P=\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\end{aligned}$

Trong tam giác SAC cân tại A ta có : $A Q=\frac{S C}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Mặt khác, tam giác APQ vuông tại P, ta có: 

$\cos \widehat{P A Q}=\frac{A P}{A Q}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng đơn giản, nhanh chóng

Để xác định chuẩn xác và nhanh chóng góc giữa 2 mặt phẳng bất kỳ, các em cần áp dụng những cách sau:

Gọi P là mặt phẳng 1 và Q là mặt phẳng 2. Khi đó ta có 2 trường hợp xảy ra là:

• Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau, khi đó góc giữa 2 mặt phẳng sẽ bằng 0.
• Hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song, cũng không trùng nhau, lúc này các em sẽ xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng 1 trong 2 cách sau:
• Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó, góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Hình minh họa cho cách 1

• Cách 2: Các em sẽ xác định giao tuyến 2 mặt phẳng (P) và (Q), sau đó các em cần tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) tại các giao tuyến a và b. Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa 2 đường giao tuyến a và b.

Hình minh họa cho cách 2

Một số bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng

Sau khi đã nắm trọn kiến thức trọng tâm về góc giữa 2 mặt phẳng, các em có thể rèn luyện kỹ năng giải bài tập qua một số dạng bài tập áp dụng như sau:

Bài 1: Cho một hình chóp tam giác S.ABCD với đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B. Biết SA = a và SA ⊥ (ABC), AB = BC = a. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Giải:

Hình minh họa bài 1

Theo đề bài ta có (SAC) giao (SBC) = SC

Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng AC $\Rightarrow$ BF ⊥ (SAC)

Dựng BK ⊥ SC tại K

$\Rightarrow$ SC ⊥ (BKF)

$\Rightarrow$ Góc (SAC, SBC) = góc (KB, KF) = góc BKF

Mà $\begin{aligned} & \triangle C F K \sim \triangle C S A \Rightarrow \frac{F K}{F C}=\frac{S A}{S C} \\ & \Rightarrow F K=\frac{S A \cdot F C}{S C}=\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a}{a \sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}\end{aligned}$

Do ∆ BFK vuông tại F $\Rightarrow \tan \widehat{B K F}=\frac{F B}{F K}=\frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{\sqrt{6}}}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ Góc BKF = 60 độ = (SAC, SBC)

Bài 2: Cho một tam giác vuông ABC vuông góc tại A, có độ dài cạnh AB bằng a. Dựng một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A và lấy điểm D. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC), biết mặt phẳng (DBC) là tam giác đều.

Giải:

Hình minh họa bài 2

Gọi α là gics tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Theo công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác, ta có:

$S_{\triangle A B C}=S_{\triangle D B C} \cdot \operatorname{Cos}(\alpha)$

Mà $S_{\triangle D B C}=\frac{1}{2} \cdot D B \cdot D C \cdot \sin \left(60^0\right)=\frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

Mặt khác $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C=\frac{1}{2} \cdot a^2$

$\Rightarrow \operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle D B C}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a^2}{\frac{1}{2} a^2}=\sqrt{3}$

Bài 3: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cảnh có độ dài bằng a. Hãy tính góc được tạo bởi một mặt bên với một mặt đáy của hình chóp tứ giác S.ABCD này.

Giải:

Hình minh họa bài 3

Gọi H là giao diện của 2 đường chéo AC và BD

Mà hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều $\Rightarrow$ SH ⊥ (S+ABCD)

Ta có (SCD) giao (ABCD) tại CD. Dựng M là trung điểm của CD.

Mà ∆SCD cân tại S $\Rightarrow$ ∆CHD cân tại H (Áp dụng tính chất đường chéo hình vuông)

Ta có: SM ⊥ CD, HM ⊥ CD

$\Rightarrow$ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∆ SMH = α

$\Rightarrow$ ∆ SCD là tam giác đều cạnh a với SM là đường trung tuyến

$\begin{aligned} & \Rightarrow S M=\frac{a \sqrt{3}}{2} \\ & \Rightarrow \operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{H M}{S M}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}$

Như vậy, bài viết trên Admin đã chia sẻ toàn bộ những kiến thức lý thuyết trọng tâm về góc giữa 2 mặt phẳng để các em và hiểu được. Bên cạnh đó Admin cũng có đưa ra một số bài tập kèm lời giải để các em tham khảo và hình thành kỹ năng làm bài hiệu quả. Chúc các em luôn đạt kết quả cao với các dạng bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng nhé!