/

/

Hướng dẫn cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng đơn giản và nhanh nhất

Admin FQA

04/02/2023, 14:56

7528

Góc giữa 2 mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng trong toán hình học của lớp 11 và lớp 12. Để giúp các em có thể giải các bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng, Admin sẽ chia sẻ toàn bộ kiến thức lý thuyết, kèm nhiều kiến thức bổ ích có liên quan. Cùng đi vào bài viết để nắm trọn kiến thức trọng tâm giúp các em học toán hình tốt hơn nhé!

Muốn giải được các dạng bài tập về góc giữa 2 đường thẳng, các em cần phải nắm vững kiến thức lý thuyết trọng tâm về khái niệm, công thức tính. Cụ thể như sau:

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng lớp 11

Góc giữa 2 mặt mặt là góc được tạo nên từ 2 đường thẳng với 2 mặt phẳng, hiểu đơn giản thì đó là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là góc khối và nó được giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Số đo góc giữa 2 mặt phẳng chính bằng số đo của góc giữa 2 đường thẳng trên 2 mặt phẳng có cùng giao tuyến và trực giao giữa 2 mặt phẳng với nhau.

Hình minh họa góc giữa 2 mặt phẳng

Với định nghĩa trên, góc giữa 2 mặt phẳng sẽ có những tính chất như sau:

  • Góc giữa 2 mặt phẳng song song sẽ bằng 0 độ
  • Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau sẽ bằng 0 độ.

Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

Công tính tính góc giữa 2 mặt phẳng như sau:

$\operatorname{Cos} \varphi=|\operatorname{Cos} \alpha|=\frac{\left|n_p \cdot n_Q\right|}{\left|n_p\right| \cdot\left|n_Q\right|}=\frac{\left|A_1 \cdot A_2+B_1 \cdot B_2+C_1 \cdot C_2\right|}{\sqrt{A_1{ }^2+B_1{ }^2+C_1{ }^2} \cdot \sqrt{A_2{ }^2+B_2{ }^2+C_2{ }^2}}$

Trong quá trình giải bài tập, ngoài công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng được Admin chia sẻ ở trên, các em còn có thể áp dụng 2 phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng như sau:

Phương pháp 1: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng các em sẽ áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Đặc biệt là sử dụng định lý hàm số Sin và hàm số Cos. Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải này, các em cùng Admin đi vào ví dụ cụ thể dưới đây:

Ví dụ 1: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là ABCD có độ dài các cạnh SA = SB = SC = SD = a. Tính Cos của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Cách giải:

Hình minh họa ví dụ 1

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SA $\Rightarrow$ ∆ SAD và ∆ SAB đều

$\Rightarrow$ Các cạnh BI ⊥ SA và DI ⊥ SA

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác BID ta có:

$\operatorname{Cos} \widehat{B I D}=\frac{I B^2+I D^2-B D^2}{2 \cdot I B \cdot I D}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2-\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a}$

=> Góc (SAB, SAD) = $\frac{1}{3}$

Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c

Khi các em giải bài toán về góc giữa 2 mặt phẳng theo phương pháp dựng mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến c, theo đó (Q) sẽ giao với (R) bằng a, (P) giao với (R) bằng b. Từ đó các em có thể suy ra góc (P) = góc (Q) = góc (a,b).

Ví dụ 2: Cho một hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AB = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA có độ dài là $a \sqrt{3}$. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)?

Cách giải:

Hình minh họa ví dụ 2

Theo đề bài ta có: ABCD là nửa lục giác đều $\Rightarrow$ AD = DC = CB = a

Ta dựng một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Dựng tiếp AH vuông góc với CD tại H trong mặt phẳng (ABCD) $\Rightarrow$ CD ⊥ (SAH)

Dựng tiếp AP vuông góc với SH trong mặt phẳng (SAH) $\Rightarrow$ AP ⊥ (SCD)

Dựng thêm đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Dựng đường thẳng AQ ⊥ SC trong mặt phẳng (SAC)

Vì BC ⊥ AC, BC ⊥ SA $\Rightarrow$ BC ⊥ (SAC) $\Rightarrow$ BC ⊥ AQ

Theo tính chất bắc cầu ta có: AQ ⊥ (SBC)

Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) sẽ lần lượt vuông góc với AP và AQ, ta có:

$\begin{aligned} & A H=\sqrt{A D^2-H D^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a \sqrt{3}}{2} \\ & \Rightarrow \frac{1}{A P^2}=\frac{1}{A S^2}+\frac{1}{A H^2} \\ & \Rightarrow A P=\frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\end{aligned}$

Trong tam giác SAC cân tại A ta có : $A Q=\frac{S C}{2}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Mặt khác, tam giác APQ vuông tại P, ta có: 

$\cos \widehat{P A Q}=\frac{A P}{A Q}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Để xác định chuẩn xác và nhanh chóng góc giữa 2 mặt phẳng bất kỳ, các em cần áp dụng những cách sau:

Gọi P là mặt phẳng 1 và Q là mặt phẳng 2. Khi đó ta có 2 trường hợp xảy ra là:

  • Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau, khi đó góc giữa 2 mặt phẳng sẽ bằng 0.
  • Hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song, cũng không trùng nhau, lúc này các em sẽ xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng 1 trong 2 cách sau:
  • Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó, góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Hình minh họa cho cách 1

  • Cách 2: Các em sẽ xác định giao tuyến 2 mặt phẳng (P) và (Q), sau đó các em cần tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) tại các giao tuyến a và b. Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa 2 đường giao tuyến a và b.

Hình minh họa cho cách 2

Sau khi đã nắm trọn kiến thức trọng tâm về góc giữa 2 mặt phẳng, các em có thể rèn luyện kỹ năng giải bài tập qua một số dạng bài tập áp dụng như sau:

Bài 1: Cho một hình chóp tam giác S.ABCD với đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B. Biết SA = a và SA ⊥ (ABC), AB = BC = a. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Giải:

Hình minh họa bài 1

Theo đề bài ta có (SAC) giao (SBC) = SC

Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng AC $\Rightarrow$ BF ⊥ (SAC)

Dựng BK ⊥ SC tại K

$\Rightarrow$ SC ⊥ (BKF)

$\Rightarrow$ Góc (SAC, SBC) = góc (KB, KF) = góc BKF

Mà $\begin{aligned} & \triangle C F K \sim \triangle C S A \Rightarrow \frac{F K}{F C}=\frac{S A}{S C} \\ & \Rightarrow F K=\frac{S A \cdot F C}{S C}=\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a}{a \sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}\end{aligned}$

Do ∆ BFK vuông tại F $\Rightarrow \tan \widehat{B K F}=\frac{F B}{F K}=\frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{\sqrt{6}}}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ Góc BKF = 60 độ = (SAC, SBC)

Bài 2: Cho một tam giác vuông ABC vuông góc tại A, có độ dài cạnh AB bằng a. Dựng một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A và lấy điểm D. Hãy tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC), biết mặt phẳng (DBC) là tam giác đều.

Giải:

Hình minh họa bài 2

Gọi α là gics tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Theo công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác, ta có:

$S_{\triangle A B C}=S_{\triangle D B C} \cdot \operatorname{Cos}(\alpha)$

Mà $S_{\triangle D B C}=\frac{1}{2} \cdot D B \cdot D C \cdot \sin \left(60^0\right)=\frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2$

Mặt khác $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C=\frac{1}{2} \cdot a^2$

$\Rightarrow \operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle D B C}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a^2}{\frac{1}{2} a^2}=\sqrt{3}$

Bài 3: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD với tất cả các cảnh có độ dài bằng a. Hãy tính góc được tạo bởi một mặt bên với một mặt đáy của hình chóp tứ giác S.ABCD này.

Giải:

Hình minh họa bài 3

Gọi H là giao diện của 2 đường chéo AC và BD

Mà hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều $\Rightarrow$ SH ⊥ (S+ABCD)

Ta có (SCD) giao (ABCD) tại CD. Dựng M là trung điểm của CD.

Mà ∆SCD cân tại S $\Rightarrow$ ∆CHD cân tại H (Áp dụng tính chất đường chéo hình vuông)

Ta có: SM ⊥ CD, HM ⊥ CD

$\Rightarrow$ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∆ SMH = α

$\Rightarrow$ ∆ SCD là tam giác đều cạnh a với SM là đường trung tuyến

$\begin{aligned} & \Rightarrow S M=\frac{a \sqrt{3}}{2} \\ & \Rightarrow \operatorname{Cos}(\alpha)=\frac{H M}{S M}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}$

Như vậy, bài viết trên Admin đã chia sẻ toàn bộ những kiến thức lý thuyết trọng tâm về góc giữa 2 mặt phẳng để các em và hiểu được. Bên cạnh đó Admin cũng có đưa ra một số bài tập kèm lời giải để các em tham khảo và hình thành kỹ năng làm bài hiệu quả. Chúc các em luôn đạt kết quả cao với các dạng bài tập về góc giữa 2 mặt phẳng nhé!

 

Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bài viết liên quan
new
Cách dùng as soon as hay và chuẩn xác nhất

Tìm hiểu cách dùng cấu trúc “as soon as” trong tiếng Anh, bao gồm các dạng phổ biến và ví dụ minh họa chi tiết. Bài viết giúp bạn nắm vững và sử dụng cấu trúc này một cách hiệu quả.

Admin FQA

15/05/2024

new
Cách dùng cấu trúc “in spite of” hay và chuẩn xác nhất

Khám phá cách dùng cấu trúc “in spite of” trong tiếng Anh, bao gồm các dạng phổ biến và ví dụ minh họa chi tiết. Bài viết giúp bạn nắm vững và sử dụng cấu trúc này một cách hiệu quả.

Admin FQA

15/05/2024

new
Cách dùng suggest hay và chuẩn xác nhất

Khám phá cách dùng cấu trúc “suggest” trong tiếng Anh, bao gồm các dạng phổ biến và ví dụ minh họa chi tiết. Bài viết giúp bạn nắm vững và sử dụng cấu trúc này một cách hiệu quả.

Admin FQA

15/05/2024

new
Cách dùng When: Cấu trúc cơ bản và các trường hợp sử dụng 'When'

Bí kíp chinh phục cấu trúc When trong tiếng Anh một cách bài bản và hiệu quả. Nắm vững cách dùng When để giao tiếp trôi chảy và tự tin trong mọi ngữ cảnh. "When" là một từ khóa quan trọng trong tiếng Anh, đóng vai trò then chốt trong việc diễn đạt thời gian và mối quan hệ logic giữa các sự kiện. Tuy nhiên, cách sử dụng "When" có thể khiến nhiều người bối rối do sự đa dạng trong các trường hợp áp dụng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết về cách dùng "When" từ A đến Z, giúp bạn tự tin sử dụng từ khóa này trong giao tiếp và viết lách.

Admin FQA

15/05/2024

new
Collocation là gì? Cách học collocation hiệu quả và tài liệu học hay nhất

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa chi tiết về collocation, vai trò quan trọng của collocation trong tiếng Anh, cách học collocation hiệu quả và những tài liệu hữu ích để trau dồi vốn từ vựng của bạn.

Admin FQA

14/05/2024

new
By the time là gì? Phân biệt với When/ Until

Bạn đang gặp khó khăn trong việc sử dụng 3 liên từ này? Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về cấu trúc "By the time" trong tiếng Anh, cách sử dụng và cách phân biệt nó với hai liên từ khác là "When" và "Until".

Admin FQA

14/05/2024

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi