Tính thể tích khối chóp và bài tập minh họa. Nắm trọn bộ công thức hiệu quả

Thể tích khối chóp - Một trong những công thức và có nhiều dạng bài tập liên quan trong môn Toán phần Hình học lớp 12. Đây là dạng hình học không gian nên cần nắm chắc kiến thức để có thể áp dụng vào khi làm đề.

Cùng cô nắm trọn bộ công thức tính thể tích khối chóp và bài tập minh họa trong phần chia sẻ dưới đây nhé. Những kiến thức này sẽ giúp các em phân biệt rõ ràng khối chóp và hình chóp nhé!

Khối chóp là một hình học đơn giản có hình dạng giống như một hình chóp đơn giản, với một mặt trên phẳng và một mặt dưới phẳng, kết nối với nhau bởi hai đường cắt trong một góc vuông.

Khối chóp là gì?

Hình chóp là một trong những hình học cơ bản được sử dụng trong toán học và kỹ thuật. Nó có thể được sử dụng để mô tả các khối hộp, các tòa nhà, các cầu và nhiều kiến trúc khác. Một số thông tin khác về hình chóp bao gồm:

Kích thước: khối chóp có ba kích thước khác nhau: chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Kích thước này được đo bằng đơn vị đo lường thông thường, như centimet (cm), inch (in) hoặc foot (ft).
Các cạnh: khối chóp có ba cạnh gọi là cạnh dài, cạnh rộng và cạnh cao. Các cạnh này kết nối với nhau tạo thành hai góc vuông.
Các mặt: khối chóp có ba mặt gọi là mặt trên, mặt dưới và hai mặt bên. Mặt trên và mặt dưới là hai mặt phẳng, còn hai mặt bên là hai mặt có hình dạng như một hình chóp.

Hiện nay, có rất nhiều khối chóp với tên gọi khác nhau. Tên gọi hình chóp sẽ dựa vào hình đa giác ở đáy. Chẳng hạn:

Hình chóp có đáy là tam giác thì đó là hình chóp tam giác. Có thể có hình chóp tam giác đều, tam giác cân…
Hình chóp có đáy là tứ giác thì đó là hình chóp tứ giác. Trong đó, hình chóp tứ giác đều sẽ có những cạnh bên đều bằng nhau, mặt đáy là đa giác dạng hình vuông tâm O, đường cao OS vuông góc với mặt đáy

Khi học về đặc điểm hình chóp, các em cần phải lưu ý các tính chất đặc biệt của hình chóp. Những tính chất này sẽ rất hữu ích khi làm các bài toán về hình học không gian. Cụ thể

Nếu các cạnh bên bằng nhau và hợp với đáy những góc bằng nhau thì chiều cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp đó.
Đáy của đường cao là tâm của đường tròn nội tiếp trên đáy nếu chiều cao tính từ đỉnh của các cạnh đến các cạnh bằng nhau hoặc nếu các cạnh cắt với đáy những góc bằng nhau.
Độ cao hình chóp là đường cao của các đường chéo hoặc các cạnh nếu chúng vuông góc với mặt đáy.

Thể tích hình chóp là khái niệm trong học định lượng hình học, được sử dụng để đo lường số khối lượng của một hình chóp.

Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy S đáy thì thể tích tính theo công thức:

Trong đó:

V là thể tích hình chóp cần tìm
S là diện tích mặt đáy của hình chóp
h là chiều cao của hình chóp.

Tuy nhiên, công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, với khối chóp n - giác, các em cần phải chia thành các khối chóp tam giác để tính.

Hình chóp cụt đều là hình cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp là một hình chóp cụt đều.

Thể tích hình chóp cụt tính như thế nào?

Tính chất:

Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
Hình chóp cụt đều có 2 mặt đáy
Các mặt đáy song song với nhau

Phân loại:

Hình chóp cụt tam giác đều
Hình chóp cụt tứ giác đều
Hình chóp cụt đa giác đều

Công thức tính thể tích hình chóp cụt như sau:

Trong đó:

S và S’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt;
h là chiều cao của nó (h chính là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng chứa 2 đáy; cũng bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên đáy này đến mặt phẳng chứa đáy kia).
V: thể tích hình chóp cụt

Công thức tính thể tích hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông:

Trong đó:

a và b là các cạnh của mặt đáy và mặt trên của hình chóp cụt vuông,
h là chiều cao.
V: thể tích hình chóp cụt đều đáy vuông

Trong công thức tính thể tích hình chóp, 2 dữ liệu quan trọng nhất là: chiều cao và diện tích đáy. Cô sẽ hướng dẫn các em làm sao để xác định 2 dữ liệu trên nhé!

Khi muốn xác định được chiều cao của hình chóp, cần phải biết những thông tin sau:

Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy
Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.

Chiều cao là thông tin quan trọng để tính thể tích hình chóp

Các công thức tính diện tích đa giác

a) Tam giác: Diện tích tam giác bằng chiều cao nhân với độ dài cạnh đối diện rồi chia cho 2.

b) Hình vuông cạnh a:

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy x cao

e) Hình thoi:

f) Hình thang:

Công thức tính diện tích của hình thang thông thường

Trong đó:

(a,b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc:

Để các em có thể dễ hiểu và áp dụng các công thức trên vào khi giải toán, cô sẽ đưa ra các ví dụ minh họa nhé. Các ví dụ này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hình chóp và cách tính thể tích của hình chóp.

Thể tích khối chóp tam giác

Mặt đáy của khối chóp S.ABCD là một hình vuông ABCD, góc SCA bằng 45 độ được tạo bởi cạnh SC với mặt phẳng đáy và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Hãy tính khối chóp S.ABCD đó.

Bài tập thể tích của khối chóp

Bài giải:

Theo đề bài ta có:

Diện tích mặt đáy ABCD = a x a = a² (do ABCD là hình vuông).

Xét tam giác ABC có: AC² = AB² + BC²

=> AC = a√2.

Chiều cao SA được tính dựa vào tam giác SAC.

Ta xét tam giác SAC có: AC là hình chiếu của cạnh SC lên mặt phẳng đáy.

(SC, (ABCD))= (SC, AC) => Góc SAC = 45 độ.

SA = AC x tan(SAC) = a√2 x tan(45) = a√2.

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp ta được thể tích hình chóp S.ABCD là:

V = 1/3 x S x h = 1/3 x a² x a√2 = (a³√2)/3

Đáp số: (a³√2)/3.

Thể tích khối chóp tam giác đều

Một khối chóp có đáy là ABC và là một tam giác đều với cạnh là a. SA vuông góc với ABC. Cạnh SC tạo với mặt đáy góc 45 độ. Hãy tính thể tích khối chóp tam giác này.

Bài tập tính thể tích khối chóp tam giác

Bài giải:

Ta có:

AB = AC = BC = a.

SC tạo với mặt đáy 45 độ và cũng là hình chiếu lên mặt phẳng ABC.

Vậy góc SCA = 45 độ.

Chiều cao SA = AC x tan(45) = a x tan(45) = a.

Diện tích của mặt đáy ABC sẽ là: S = (a² x √3)/4.

Dựa vào cách tính thể tích khối chóp ta có được thể tích S.ABC là:

V = 1/3 x S x h = ⅓ x (a² x √3)/4 x a = a³ x (√3/12).

Đáp số: a³ x (√3/12)

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều

Tính thể tích hình chóp đều S.MNPQ. Biết hình chóp đều S.MNPQ có đường cao SH vuông góc với mặt đáy hình vuông MNPQ và có chiều dài bằng 12m. Cạnh của hình vuông là 8m.

Bài giải:

Theo đề bài ta có:

SH = 12m

MN = NP = PQ = QM = 8m.

Diện tích mặt đáy khối chóp đều là: S(MNPQ) = 8 x 8 = 64m²

Thể tích chóp đều S.MNPQ sẽ bằng: V = 1/3 x h x S = 1/3 x 12 x 64 = 256m³.

Đáp số: 256 m³.

Tính thể tích hình chóp khi biết 3 cạnh

Với dạng đề bài cho biết 3 cạnh của hình chóp, các em có thể làm theo các bước sau:

Đầu tiên xét khối tứ diện S.ABCD ta có: BC, CA, AB, AD, BD, CD lần lượt tương ứng với a, b, c, d, e, f.

Công thức tổng quát tính thể tích khối chóp tứ diện 6 cạnh:

V = 12M + N + P + Q

M = d²a²(e² + c² + b² + f² – d² – a²)

N = e²b²(c² + d² + a² + f² – e² – b²)

P = f²c²(b² + d² + a² + e² – f² – c²)

Q = (abc)² + (aef)² + (cde)² + (bdf)²

Trong đó: a, b, c, d, e, f tương ứng với các cạnh đáy khối chóp.

Ví dụ:

Thể tích của khối tứ diện ABCD biết AB = CD = 12, AD = BC = 9 và AC = BD = 6.

Bài giải:

Ta có thể tích ABCD là: V(ABCD) = (√2)/12 x√(12² + 9² – 6²) x (9² + 6² – 12²) x (6² + 12² – 9²) =4 x (√2)/12 = (√2)/3

Đáp số: (√2)/3.

Trên đây là tổng hợp các kiến thức về hình chóp, công thức liên quan và một số bài tập ví dụ. Hy vọng những chia sẻ trên sẽ giúp ích cho các em khi làm bài tập về hình chóp. Ngoài ra, còn có rất nhiều các dạng bài tập liên quan khác. Hãy theo dõi cô để biết thêm nhiều kiến thức Toán học bổ ích nhé!