2. Đề kiểm tra giữa kì I Toán 9 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 (2 điểm): Thực hiện phép tính:

a) $$                                                     

b) $$

c) $$

Câu 2 (2 điểm): Giải các phương trình sau:

a) $$                     

b) $$                   

c) $$

Câu 3 (2 điểm): Cho biểu thức: $$ $$

a) Tính giá trị của biểu thức $$ khi $$

b) Rút gọn biểu thức $$

c) Tìm $$để $$  

Câu 4 (3 điểm): Cho $$ vuông tại $$ đường cao $$ $$ $$

a) Giải tam giác vuông $$ (kết quả làm tròn đến phút)

b) Kẻ tia phân giác góc $$ cắt $$ tại $$ Tính $$

c) Gọi $$ theo thứ tự là hình chiếu của $$ trên $$ và $$ Tính diện tích tứ giác $$  

Câu 5 (1 điểm):

a) Giải bài toán sau: (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai)

Để đo chiều rộng của một khúc sông $$ người ta chọn hai vị trí $$ cùng một bờ. Biết $$ $$ $$  Hãy tính chiều rộng $$ của khúc sông đó.

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$  

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức: $$

b) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu: $$ và $$ với $$  

c) Sử dụng công thức hằng đẳng thức ở mẫu: $$

Cách giải:

Thực hiện phép tính:

a) $$                 

b) $$

c) $$

Câu 2

Phương pháp:

Tìm điều kiện để phương trình xác định.

Giải phương trình: $$ $$

Cách giải:

Giải các phương trình sau:

a) $$  

Điều kiện: $$

Vậy phương trình có nghiệm $$        

b) $$       

Điều kiện:$$  

Vậy phương trình có nghiệm $$

c) $$

Điều kiện: $$

Vậy phương trình có nghiệm $$

Câu 3

Phương pháp:

a) Thay giá trị $$ vào biểu thức $$ để tính giá trị của biểu thức.

b) Biến đổi, quy đồng sau đó rút gọn biểu thức đã cho.

c) Giải bất phương trình $$ để tìm $$ Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Cách giải:

Cho biểu thức: $$ $$

a) Tính giá trị của biểu thức $$ khi $$

Điều kiện: $$

Thay giá trị $$ vào biểu thức ta được: $$

Vậy với $$ thì $$

b) Rút gọn biểu thức $$

Điều kiện: $$

c) Tìm $$để $$  

Điều kiện: $$

Ta có: $$

Kết hợp với điều kiện $$ ta có: $$ thỏa mãn bài toán.

Vậy $$ thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

a) Sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác để giải $$

b) Sử dụng tính chất tia phân giác của tam giác để tính $$

Ta có: $$ là tia phân giác của $$ $$  

c) Chứng minh tứ giác $$ là hình chữ nhật.

Vì $$ là phân giác của $$ $$

$$ là các tam giác vuông cân tị $$ và $$

$$ là hình vuông.

Từ đó tính $$ $$

Cách giải:

Cho $$ vuông tại $$ đường cao $$ $$ $$

a) Giải tam giác vuông $$ (kết quả làm tròn đến phút)

Áp dụng định lý Pitago cho $$ vuông tại $$ ta có:

Xét $$ vuông tại $$ ta có:

Vậy $$

b) Kẻ tia phân giác góc $$ cắt $$ tại $$ Tính $$

Áp dụng tính chất của tia phân giác ta có: $$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong $$ vuông tại$$ có đường cao $$ ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho  $$ vuông tại $$ ta có:

Vậy $$

c) Gọi $$ theo thứ tự là hình chiếu của $$ trên $$ và $$ Tính diện tích tứ giác $$  

Ta có: $$ $$

Xét tứ giác $$ ta có:$$

$$ là hình chữ nhật.

Vì $$ là phân giác của $$ $$

$$ là các tam giác vuông cân tị $$ và $$

$$ là hình vuông.

Xét $$ vuông cân tại$$ ta có:

Câu 5

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ số về cạnh và góc trong các tam giác $$ vuông tại $$ để tính $$

b) Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối: $$

Dấu “=” xảy ra $$

Cách giải:

a) Giải bài toán sau: (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ hai)

Để đo chiều rộng của một khúc sông $$ người ta chọn hai vị trí $$ cùng một bờ. Biết $$ $$ $$  Hãy tính chiều rộng $$ của khúc sông đó.

Xét $$ vuông tại $$ ta có:  

Xét $$ vuông tại $$ ta có: $$

Vậy chiều rộng của khúc sông khoảng $$

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$  

Ta có:

Dấu “=” xảy ra $$

Vậy $$ khi $$