Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có  \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(\varphi \) ta có:

\({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} \)

\(= {\cos ^2}\varphi  + {i^2}{\sin ^2}\varphi  + 2\cos \varphi .i\sin \varphi \)

\(= {\cos ^2}\varphi  - {\sin ^2}\varphi  + \left( {2\sin \varphi \cos \varphi } \right)i\)

\( = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \)

Vậy các căn bậc hai của \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \) là \( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Cách đã biết:

Gọi \(w=x+yi\) là một căn bậc hai của \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{w^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\
2xy = \sin 2\varphi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm \(\left( {\cos \varphi ,\sin \varphi } \right),\left( { - \cos \varphi , - \sin \varphi } \right)\).

Do đó\( \pm \left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\) là hai căn bậc hai của\(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

=> Cách làm đầu tiên thuận tiện và dễ làm hơn cách thứ hai rất nhiều.

Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Lời giải chi tiết:

\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)  = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\)

\(= \cos {\pi  \over 4} - i\sin {\pi  \over 4} \) \(= \cos \left( { - {\pi  \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 4}} \right)\).

Theo câu a) \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) có hai căn bậc hai là:

\( \pm \left( {\cos \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right) + i\sin \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right)} \right) \) \(=  \pm \left( {\cos {\pi  \over 8} - i\sin {\pi  \over 8}} \right)\)

Mà

\(\eqalign{  & \cos {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }   \cr  & \sin {\pi  \over 8} = \sqrt {{{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2}}  \cr & = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \cr} \)

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là \( \pm {1 \over 2}\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 }  - i\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)\)

Cách 2, việc tìm các căn bậc hai của\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) đưa về việc giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr  2xy =  - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Hệ đó tương đương với \(\left\{ \matrix{  8{x^4} - 4\sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {{\sqrt 2  + 2} \over 4} \hfill \cr  y =  - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr}  \right.\)

Nên có các nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{ - \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right),\) \(\left( {{{ - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right)\)

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.