Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có \({\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(\varphi \) ta có:

\({\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^2} \)

\(= {\cos ^2}\varphi + {i^2}{\sin ^2}\varphi + 2\cos \varphi .i\sin \varphi \)

\(= {\cos ^2}\varphi - {\sin ^2}\varphi + \left( {2\sin \varphi \cos \varphi } \right)i\)

\( = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \)

Vậy các căn bậc hai của \(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \) là \( \pm \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)

Cách đã biết:

Gọi \(w=x+yi\) là một căn bậc hai của \(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
{w^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\
2xy = \sin 2\varphi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Rõ ràng hệ có các nghiệm \(\left( {\cos \varphi ,\sin \varphi } \right),\left( { - \cos \varphi , - \sin \varphi } \right)\).

Do đó\( \pm \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\) là hai căn bậc hai của\(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \).

=> Cách làm đầu tiên thuận tiện và dễ làm hơn cách thứ hai rất nhiều.

LG b

Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Lời giải chi tiết:

\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\)

\(= \cos {\pi \over 4} - i\sin {\pi \over 4} \) \(= \cos \left( { - {\pi \over 4}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 4}} \right)\).

Theo câu a) \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) có hai căn bậc hai là:

\( \pm \left( {\cos \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right) + i\sin \left( {{{ - \pi } \over 8}} \right)} \right) \) \(= \pm \left( {\cos {\pi \over 8} - i\sin {\pi \over 8}} \right)\)

Mà

\(\eqalign{ & \cos {\pi \over 8} = \sqrt {{{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2}} \cr & = \sqrt {{{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr & \sin {\pi \over 8} = \sqrt {{{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2}} \cr & = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr} \)

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là \( \pm {1 \over 2}\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 } - i\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)\)

Cách 2, việc tìm các căn bậc hai của\({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) đưa về việc giải hệ phương trình\(\left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr 2xy = - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hệ đó tương đương với \(\left\{ \matrix{ 8{x^4} - 4\sqrt 2 {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr y = - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {{\sqrt 2 + 2} \over 4} \hfill \cr y = - {{\sqrt 2 } \over {4x}} \hfill \cr} \right.\)

Nên có các nghiệm là: \(\left( {{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{ - \sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right),\) \(\left( {{{ - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2};{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}} \right)\)

Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Ôn tập chương IV - Số phức

Bài tập trắc nghiệm khách quan - Chương IV. Số phức - Toán 12 Nâng cao

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024