Chứng minh rằng \({z_o} = \cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}},\,{z_1} = {z_o}\varepsilon ,\) \({z_2} = {z_o}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} - {\rm{w}} = 0;\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(w = \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}\)

\(\eqalign{ & \varepsilon = \cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}\cr & \Rightarrow {\varepsilon ^3} = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1 \cr & z_o^3 = {\left( {\cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}}} \right)^3} \cr &= \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4} ={\rm{w}} \cr & z_1^3 = {\left( {{z_o}\varepsilon } \right)^3} = z_o^3.{\varepsilon ^3} = {\rm{w}} \,\,\left( {\text{vì}\,\,\,{\varepsilon ^3} = 1} \right), \cr & z_2^3 = {\left( {z_o{\varepsilon ^2}} \right)^3} = z_o^3{\varepsilon ^6} = z_o^3 ={\rm{w}}\cr} \)

Do đó các số phức \({z_0},{z_0}\varepsilon ,{z_0}{\varepsilon ^2}\) đều là nghiệm của phương trình \(z^3-w=0\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow z_0^3 = \cos \dfrac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{{12}}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 + i} \right) = w\\ \Rightarrow z_0^3 = w \Rightarrow z_0^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\) là nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

\(\begin{array}{l}\varepsilon = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right) = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \\ = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\\ = \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Rightarrow z_1^3 = \cos \dfrac{{9\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{9\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_1^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

\(\begin{array}{l}\varepsilon = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {\varepsilon ^2} = \cos \dfrac{{4\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{4\pi }}{3}\\ \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\\ = \cos \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\\ = \cos \dfrac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{{12}}\\ \Rightarrow z_2^3 = \cos \dfrac{{17\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_2^3 - w = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).

LG b

Biểu diễn hình học các số phức \({z_o},\,{z_1},\,{z_2}\)

Lời giải chi tiết:

Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn \({z_0},\,\,{z_1},\,\,{z_2}\)

\(\begin{array}{l}
{z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\\
{z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\\
{z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}
\end{array}\)

Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương IV - Số phức

Bài tập trắc nghiệm khách quan - Chương IV. Số phức - Toán 12 Nâng cao

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024