Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr 
& y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0,\,\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = - 2 \hfill \cr 
x = \pm 1,\,\,\,\,y\left( { \pm 1} \right) = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = -1 ; x = 1\);
Giá trị cực đại \(y\left( { \pm 1} \right) =  - 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -2\).

\(\eqalign{
& y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left( {3{x^2} - 1} \right) \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }}\cr&y\left( { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {{ - 13} \over 9} \cr} \)

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)
Điểm đặc biệt \(x = 2 \Rightarrow y =  - 10\)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} - 2 = m\).

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\) với đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \(m < -2\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m = -2\) thì phương trình có \(3\) nghiệm;
- Nếu \(-2 < m < -1\) thì phương trình có \(4\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m> -1\) thì phương trình vô nghiệm.

Vậy,

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

\(m =  - 1\) hoặc \(m <  - 2\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)

Ta có: \(y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \) \(=  - \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\)
phương trình tiếp tuyến của đồ thị \({I_1}\) là:

\(\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \)

Lại có: \(y'\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \) \(=   \frac{8}{{3\sqrt 3 }}\)

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị \({I_2}\) là :

\(\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left( {  {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow y = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \)

Vậy 2 tiếp tuyến là \(y = {-8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\) và \(y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\)