Bài 57 trang 55 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số:

\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(f'(x)=6x^2+6x\)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

- Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;-1)\) và \((0; + \infty )\)

- Hàm số nghịch biến trên \((-1;0)\)

- Hàm số đạt cực tại \(x=-1;y_{CĐ}=2\)

- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;y_{CT}=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\), đi qua điểm (-1;2).

Điểm uốn:

Ta có y’’ = 12x + 6

y''=0 <=> 12x+6=0

<=> x=-1/2 => y=3/2

Tìm các giao điểm của đường cong \((C)\) và parabol:

\((P):\,\,\,g\left( x \right) = 2{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong \((C)\) và paraobol \((P)\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \,\,\,\,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \cr&\Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với \(x = 0\) ta có \(y = 1\); với \(x =  - {1 \over 2}\) ta có \(y = {3 \over 2}\)

Ta có giao điểm \(A(0;1)\) và \(B\left( { - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)

Viết phương trình các tiếp tuyến của \((C)\) và \((P)\) tại mỗi giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x;\,g'\left( x \right) = 4x\)

\(f'\left( 0 \right) = 0;\,g'\left( 0 \right) = 0\).

Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến chung của \((C)\) và \((P)\) tại điểm \(A(0;1)\).

Ta có: \(f'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2}\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(B\) là: 

\(y =  - {3 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y =  - {3 \over 2}x + {3 \over 4}\)

Lại có: \(g'\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - 2\).

Phương trình tiếp tuyến của parabol \((P)\) tại điểm \(B\) là:

\(y =  - 2\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y =  - 2x + {1 \over 2}\)

Xác định các khoảng trên đó \((C)\) nằm phía trên hoặc phía dưới \((C)\).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\)

\(= 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 \)

\(= 2{x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\)

Xét dấu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\):

Do đó \(f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{2}\) nên trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) thì \((C)\) nằm phía dưới \((P)\)

\(f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \frac{1}{2}\\
x \ne 0
\end{array} \right.\) thì \(f(x) > g(x)\) hay đồ thị (C) nằm phía trên (P) trên các khoảng \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).