Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2x - 1} \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}}>0\,\,\forall x\in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\) 

Tiệm cận đứng \(y=2\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \)

Tiệm cận đứng: \(x=-1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Ox\) tại điểm \(\left( {{1 \over 2};0} \right)\)

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;2) làm tâm đối xứng. 

Với các giá trị nào của \(m\), đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) qua điểm \(A(-2;2)\) có hệ số góc \(m\) là:

\(y - 2 = m\left( {x + 2} \right)\) hay \(y = mx + 2m + 2\)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

\(\eqalign{
& mx + 2m + 2 = {{2x - 1} \over {x + 1}} \cr 
& \Rightarrow \left( {mx + 2m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x - 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr 
& \Leftrightarrow  m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

• Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\), tức là

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta > 0\\
f\left( { - 1} \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
9{m^2} - 4m\left( {2m + 3} \right) > 0\\
m.{\left( { - 1} \right)^2} + 3m.\left( { - 1} \right) + 2m + 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} - 12m > 0\\
3 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 12\\
m < 0
\end{array} \right.(*)
\end{array}\)

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng \(x = -1\) của đồ thị.

\(\Leftrightarrow\) Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó

\(\Leftrightarrow\) (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\cr&\Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 \cr&\Leftrightarrow {{2m + 3} \over m} - {{3m} \over m} + 1 < 0 (\text{  Vi-et   })\cr 
& \Leftrightarrow {3 \over m} < 0 \cr} \)

Kết hợp với (*) được \(m < 0\)

Vậy với \(m < 0\) thì \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

Cách khác:

\(\Leftrightarrow\) (1) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2}\)

⇔ af(-1)<0

⇔ m(m(-1)²+3m(-1)+2m+3)<0

⇔ 3m<0 ⇔ m < 0

Vậy với m ∈(-∞;0) thì đường thẳng (d_m) sẽ cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt ∈ 2 nhánh đồ thị.