Bài 65 trang 58 sách giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y'  = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^2} - 4x} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr 
& y' = 0  \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0\cr& \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) = 0\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\)

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{CT}=7\)

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty ;\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là: \(x=1\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{2{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - x}} = 2 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} - 2x} \right) = 1 \cr} \)

Tiệm cận xiên là: \(y=2x+1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Với các giá trị nào của m đường thẳng \(y = m – x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

\(\eqalign{
& {{2{x^2} - x + 1} \over {x - 1}} = m - 1\cr& \Rightarrow 2{x^2} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {m - x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 =  - {x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m\cr&  \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left( 1 \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 2} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\
{3.1^2} - \left( {m + 2} \right).1 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 8m - 8 > 0\\
2 \ne 0\left( {\text{đúng}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow m < 4 - 2\sqrt 6 \,\,\text{hoặc}\,\,m > 4 + 2\sqrt {6\,\,} \,\left( 2 \right)\)

Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi \(m\) biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm \(A, B\) là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là: \({x_M} = {1 \over 2}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) = {{m + 2} \over 6}\)

Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} \over 6} = {{5m - 2} \over 6}\)

Khử \(m\) từ hệ 

\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{m + 2} \over 6} \hfill \cr 
{y_M} = {{5m - 2} \over 6} \hfill \cr} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6{x_M} = m + 2\\
6{y_M} = 5m - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 5.\left( {6{x_M} - 2} \right) - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
6{y_M} = 30{x_M} - 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6{x_M} - 2\\
{y_M} = 5{x_M} - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(M\) nằm trên đường thẳng \(y = 5x -2\)

Vì \(m\) chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

\(m < 4 - 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} < 6 - 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\)

\(m > 4 + 2\sqrt 6  \) \(\Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6  \) \( \Leftrightarrow 6{x_M} > 6 + 2\sqrt 6 \) \(\Rightarrow {x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)

Vậy tập hợp các trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là phần của đường thẳng \(y = 5x -2\) với \({x_M} < 1 - {{\sqrt 6 } \over 3}\) hoặc \({x_M} > 1 + {{\sqrt 6 } \over 3}\)