Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

Lời giải chi tiết:

Với m=1 hàm số có dạng: \(y = {{x - 4} \over {2x - 2}}\)

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = {6 \over {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  - \infty \)

Đường tiệm cận đứng: \(x=1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = {1 \over 2}\)

Đường tiệm cận ngang \(y={1 \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\), các đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ.

Đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) đi qua điểm M khi và chỉ khi \((x_o;y_o)\) thỏa mãn \({{{x_o} - 4m} \over {2\left( {m{x_o} - 1} \right)}} = {y_o}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr 
2{y_o}\left( {m{x_o} - 1} \right) = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 
\left( {2{x_o}{y_o} + 4} \right)m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua điểm \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm {1 \over 2}\).

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr 
-{x_o} - 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_o}{y_o} + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4y_o^2 + 4 = 0\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_o} = \pm 1\\
{x_o} = - 2{y_o}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = - 2 \hfill \cr 
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr 
{y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) =(-2;1) và \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\)=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với \({x_o} =  - 2\), ta có \(m \ne  - {1 \over 2}\)

•Với \({x_o} = 2\), ta có \(m \ne {1 \over 2}\)

Vậy mọi đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) với \(m \ne  \pm {1 \over 2}\) đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; - 1).

Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với (\(H_m\)) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {mx - 1} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc tiếp tuyến với \(\left( {{H_m}} \right)\) tại A(-2; 1) và \(B(2; - 1)\) là y’(-2) và y'(2).

Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

\(y'\left( { - 2} \right).y'\left( 2 \right) \) \(= {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {-2m - 1} \right)}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}} \) \(= {1 \over 4}\) là hằng số.