Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y = {x^2} - x + 1\) và đồ thị (H) của hàm số \(y = {1 \over {x + 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Vẽ (P):

(P) là parabol có đỉnh \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\), bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\)

Vẽ (H):

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Đồ thị có TCĐ \(x =  - 1\), TCN \(y = 0\)

Đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\)

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \) \(\Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

\(\Rightarrow {y\left( 0 \right) = 1} \)

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 1;\,g\left( x \right) = {1 \over {x + 1}}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 1;\,g'\left( x \right) =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( 0 \right) = g'\left( 0 \right) =  - 1\)

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến chung của (P) và (H) tại A(0;1) có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:

y=-1(x-0)+1 hay y=-x+1.

Chú ý:

Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là (0;1).

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}}\) \( = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy,

\(f\left( x \right) > g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 0\\
x < - 1
\end{array} \right.\)

Do đó, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì (P) nằm phía trên (H).

\(f\left( x \right) < g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow -1 < x < 0\) nên trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) thì (P) nằm phía dưới (H).