Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 70

1. Nội dung câu hỏi

Tính diện tích $S_n$ của $H_n$ và tính $\lim S_n$.

2. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q: S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}$ và công thức tính giới hạn cơ bản: $\lim q^n=0$, với $q$ là số thực thỏa mãn $|q|<1$.

3. Lời giải chi tiết

$\begin{aligned} &  S_n=5^n \cdot\left(\frac{1}{3^n}\right)^2=5^n \cdot \frac{1}{9^n}=\left(\frac{5}{9}\right)^n, n=1,2,3, \ldots \\ & \lim S_n=\lim \left(\frac{5}{9}\right)^n=0\end{aligned}$

1. Nội dung câu hỏi

Tính chu vi $p_n$ của $H_n$ và tính $\lim p_n$.

2. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q: S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}$ và công thức tính giới hạn cơ bản: $\lim q^n=0$, với $q$ là số thực thỏa mãn $|q|<1$.

3. Lời giải chi tiết

$p_n=5^n \cdot 4 \cdot \frac{1}{3^n}=4 \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n, n=1,2,3, \ldots$
$\lim p_n=\lim \left(4 .\left(\frac{5}{3}\right)^n\right)$
Vì $\lim \frac{1}{4 .\left(\frac{5}{3}\right)^n}=\frac{1}{4} \cdot \lim \left(\frac{3}{5}\right)^n=0$ và $4 \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n>0$ với mọi $n$ nên $\lim p_n=\lim \left(4 \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n\right)=+\infty$.