Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và ˆA=60°.A^=60°.Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại F. Chứng minh:

a) \(\widehat {BIC} = 120^\circ \)

b) ∆BEI = ∆BFI;

c) BC = BE + CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựa tính chất tia phân giác của một góc và tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {BIC} = 120^\circ \)

- Xét các điều kiện về cạnh, về góc để chứng minh ∆BEI = ∆BFI (g – c – g)

- Từ các tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau dẫn tới chứng minh BC = BE + CD.

Lời giải chi tiết

a) Vì BD là phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

Vì CE là phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Xét ∆ABC có: \(\hat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \hat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Xét ∆IBC có: \(\widehat {BIC} + \widehat {IBC} + \widehat {ICB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Hay \(\widehat {BIC} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BIC} = 180^\circ - \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = 180^\circ - \frac{{120^\circ }}{2} = 120^\circ \)

Vậy \(\widehat {BIC} = 120^\circ .\)

b) Vì IF là phân giác của góc BIC nên \(\widehat {BIF} = \widehat {CIF} = \frac{{\widehat {BIC}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)

Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {BIE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BIE} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Xét ∆BEI và ∆BFI có:

\(\widehat {EBI} = \widehat {FBI}\) (chứng minh câu a),

BI là cạnh chung,

\(\widehat {EIB} = \widehat {FIB}\) (cùng bằng 60°),

Do đó ∆BEI = ∆BFI (g.c.g).

Vậy ∆BEI = ∆BFI.

c) Do ∆BEI = ∆BFI (câu b) nên BE = BF (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {BIC} + \widehat {CID} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CID} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Xét ∆CFI và ∆CDI có:

\(\widehat {FCI} = \widehat {DCI}\) (chứng minh câu a),

CI là cạnh chung,

\(\widehat {CIF} = \widehat {CID}\) (cùng bằng 60°),

Suy ra ∆CFI = ∆CDI (g.c.g).

Do đó CF = CD (hai cạnh tương ứng).

Ta có: BC = BF + FC = BE + CD.

Vậy BC = BE + CD.

Fqa.vn

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024