Điểm lại các dạng đề về công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng

Công thức cấp số nhân là một công thức toán học dùng để tính giá trị của một số nhân với một số cấp số. Trước đó, các em đã được tìm hiểu về định nghĩa, các công thức cấp số nhân trong bài chia sẻ: Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng.

Tiếp theo trong bài chia sẻ này, Admin sẽ nhắc lại và bổ sung thêm các dạng đề về công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng để các em hiểu rõ hơn về phần kiến thức Toán học này nhé.

Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Các em có thể biểu diễn giả thiết của bài toán qua u₁ và q.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

${{u}_{n}}~=\text{ }{{u}_{1}}.{{q}^{n-1}},\text{ }n\text{ }\ge \text{ }1$.

Trong đó q: công bội của cấp số nhân. Lưu ý: Trong công thức cấp số nhân, số nhân và số cấp số có thể là bất kỳ số nào, còn số mũ phải là số nguyên dương.

Nếu: Kết quả công bội q không đổi thì dãy số được cho là cấp số nhân. Kết quả có công bộ thay đổi theo n thì dãy số được cho không phải là cấp số nhân.

Ví dụ minh họa:

Bài 1. Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy $\left( {{u}_{n}} \right):{{u}_{n}}=n\cdot {{6}^{n+1}}$

c) Dãy $\left( {{v}_{n}} \right):{{v}_{n}}={{(-1)}^{n}}\cdot {{3}^{2n}}$.

Lời giải

a) Ta thấy $-2:1=4:-2=-8:4=16:-8=-32:16=64:-32=-2$

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là ${{u}_{1}}~=1$ và công bội $q=-2$.

b) Ta có: $u_n=n \cdot 6^{n+1}$ thì $u_{n+1}=(n+1) \cdot 6^{n+2}$

Xét $\frac{{{u}^{n+1}}}{{{u}^{n}}}=\frac{(n+1){{6}^{n+1}}}{n\cdot {{6}^{n+1}}}=\frac{6(n+1)}{n}$, phụ thuộc vào $n$

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: $v_n=(-1)^n \cdot 3^{2 n}$ thì $v_{n+1}=(-1)^{n+1} \cdot 3^{2(n+1)}$

Xét $\frac{{{v}^{n+1}}}{{{v}^{n}}}=\frac{{{(-1)}^{n+1}}{{.3}^{2n+2}}}{{{(-1)}^{n}}{{3}^{2n}}}=(-1)\cdot {{3}^{2}}=-9$ không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên $u_1=(-1)^1 \cdot 3^{2 \cdot 1}=-9$ và công bội $q=$ $-9$.

Bài 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\{{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\\end{array} \right.$

a) Xác định công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân trên.

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?

Lời giải

Theo đề bài, ta có

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\{{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\\end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)=51 \\{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)=102 \\\end{array} \right.$

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được $q=2$.

Suy ra u1 ${{u}_{1}}=\frac{51}{\left( 1+{{\text{q}}^{4}} \right)}=\frac{51}{\left( 1+{{2}^{4}} \right)}=3$

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là $u_1=3$ và công bội $q=2$.

b) Số hạng tống quát của cấp số nhân là $u_n=u_1 \cdot q^{n-1}$ nên $u_n=3 \cdot 2^{n-1}$.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: $\mathrm{U}_{15}=3.2^{14}=49152$.

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

${{u}_{n}}=12288\Leftrightarrow {{3.2}^{n-1}}=12288\Leftrightarrow {{2}^{n-1}}=4096={{2}^{12}}\Leftrightarrow n=13$

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Sử dụng tính chất: Ba số hạng $u_{k-1}$; $u_k ; u_{k+1}$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi ${{u}_{k}}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Tìm $x$ sao cho các số $1 ; x^2 ; 6-x^2$ lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có: $1 ; x^2 ; 6-x^2$ lập thành cấp số nhân

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}=1.\left( 6-{{x}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{2}}=2 \\ & {{x}^{2}}=-3\,\,(L) \\ \end{align} \right.\text{ }\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$ thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Bài 2. Tìm $x$ để ba số $x-2, x-4, x+2$ lập thành một cấp số nhân.

Để ba số $x-2, x-4, x+2$ lập thành một cấp số nhân, điều kiện là:

${{(x-4)}^{2}}=(x-2)(x+2)\Leftrightarrow 8x=20\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}.$

Vậy: $x=\frac{5}{2}$ thoả mān yêu cầu bài toán.

Đối với dạng bài này, các em sẽ giải bằng cách sử dụng công thức tính số hạng tổng quát (U_n = U₁ . q_n-1, n > hoặc = 2).

Ví dụ minh họa:

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên u₁ = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2

Lời giải

Ta có: ${{\text{u}}_{1+1}}={{\text{u}}_{1}}\cdot \text{q}\Rightarrow {{\text{u}}_{2}}=8.3=24$

Vậy, số hạng thứ 2 của cấp số nhân U_n là 24

Bài 2. Cho cấp số nhân (u_n), biết rằng số hạng đầu tiên u₁ = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5.

Lời giải

Ta có: ${{u}_{5}}=3\cdot {{2}^{5-1}}=48$

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: ${{S}_{n}}={{u}_{1}}\frac{\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{(1-q)},(q\ne 1)$.

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁

Ví dụ minh họa

Bài 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$có số hạng đầu là 18 , số hạng thứ hai là 54 , số hạng cuối bằng 39366 . Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

b) Số hạng đầu tiên $u_1=18$

Số hạng thứ hai $u_2=54 \Rightarrow u_1 q=54 \Rightarrow q=3$

Số hạng cuối ${{u}_{n}}=39366$

$\Leftrightarrow u_1 \cdot q^{n-1}=39366$

$\Leftrightarrow {{18.3}^{n-1}}=39366\Leftrightarrow {{3}^{n-1}}=2187={{3}^{7}}\Leftrightarrow n=8$

Vậy ${{S}_{8}}={{u}_{1}}\frac{\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{(1-q)}=18\cdot \frac{\left( 1-{{3}^{8}} \right)}{(1-3)}=59040$

Bài 2. Tính tổng

a) S_n=9+99+999+...+999...9 (…: n số 9)

b) S_n=8+88+888+...+88...8 (…: n số 8)

Lời giải

$\begin{align}& \text{a) }{{\text{S}}_{\text{n}}}=9+99+999+\ldots +\underbrace{999..9}_{\text{nso9}} \\ & =10-1+{{10}^{2}}-1+{{10}^{3}}-1+\ldots +{{10}^{\text{n}}}-1 \\ & =\left( 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+\ldots +{{10}^{\text{n}}} \right)-\text{n} \\ & =10\cdot \frac{1-{{10}^{\text{n}}}}{1-10}-\text{n} \\ & =\frac{10\left( {{10}^{\text{n}}}-1 \right)}{9}-\text{n } \\ & \text{b) }{{\text{S}}_{\text{n}}}=\frac{8}{9}(9+99+999+\underbrace{99..9}_{\text{nso9}}) \\ & =\frac{8}{9}\left( 10-1+{{10}^{2}}-1+{{10}^{3}}-1+\ldots +{{10}^{\text{n}}}-1 \right) \\ & =\frac{8}{9}\left[ \left( 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+\ldots +{{10}^{\text{n}}} \right)-\text{n} \right] \\ & =\frac{8}{9}\left( 10\cdot \frac{1-{{10}^{\text{n}}}}{1-10}-\text{n} \right) \\ & =\frac{80\left( {{10}^{\text{n}}}-1\right)}{81}-\frac{8}{9}\text{n}. \\ \end{align}$

Thông thường bài toán được chuyển về xác định u₁ và công bội q.

Ví dụ 6. Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân (un) biết: $u_4-u_2=72$ và $u_5-u_3=144$

Ta biến đổi: ${{u}_{1}}{{q}^{3}}-{{u}_{1}}q=72$ và $u_1 q^4-u_1 q^2=144$

$\Leftrightarrow {{u}_{1}}q\left( {{q}^{2}}-q \right)=72$ và ${{u}_{1}}{{q}^{2}}\left( {{q}^{2}}-q \right)=144$

$\Rightarrow q=144:72=2$

$\Rightarrow \mathrm{u}_1=12$.

Vậy: cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=12$ và và $q=2$.

Trên đây tổng hợp những dạng đề về công thức cấp số nhân và bài tập vận dụng. Các em hãy ôn tập thật kỹ để có thể làm thành thạo các dạng bài tập trên nhé! Ngoài ra, hãy liên hệ cùng các công thức cấp số cộng để giải những dạng bài tập liên quan nhé!