Minh họa giải bài toán bằng cách lập phương trình với các bài tập cụ thể!

Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Là phương pháp làm toán có thể áp dụng cho nhiều dạng bài khác nhau. Trong một bài chia sẻ trước đó, Admin đã đưa cho các em các dạng đề và cách giải bài toán bằng cách lập phương trình như thế nào? 

Vậy bây giờ, cùng Admin áp dụng các công thức trong bài và làm những bài tập dưới đây để hiểu rõ hơn về kiến thức Toán này nhé!

Tham khảo phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình tại bài chia sẻ: Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cho từng dạng đề khác nhau!

Dạng 1: Tìm các số

Bài 1. 

Hãy tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là -2 và tích của hai số này là 15.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số gần tìm là x.

Chữ số hàng đơn vị là x+2.

Điều kiện:

$$ và $$

$$ và $$

$$ và $$

Tích của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là:

Theo đề bài, ta có phương trình:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$$ (loại)

Vậy chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là 5. Số cần tìm là 35.

Bài 2.

Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên có hai chữ số là x (0 < x ≤ 5)

 ⇒ chữ số hàng đơn vị là 5 – x 

Vì tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 nên ta có phương trình

$$ hoặc $$

Với x = 2 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng đơn vị bằng 3. Do đó số phải tìm là 23

Với x = 3 thì chữ số hàng chục bằng 3 và chữ số hàng đơn vị bằng 2. Do đó số phải tìm là 32

Vậy có 2 số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 23 và 32

Bài 3. 

Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, điều kiện x ∈ N, (0 < x ≤ 9)

Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y, điều kiện y ∈ N, (0 ≤ y ≤ 9)

Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình:

Số đó là: 

$$ . 

Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số mới là:

Theo bài ra ta số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình:   

Từ đó ta có hệ phương trình

$$ và $$

$$ và $$ (thoả mãn điều kiện)

Số cần tìm là 68.

Dạng 2: Toán chuyển động

Bài 1.

Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu

Lời giải:

Gọi t là thời gian dự định lúc đầu ( t đơn vị là giờ, t > 1)

Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì thời gian đi từ A đến B là: $$ (giờ)

quãng đường AB là: $$ km  (1)

Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì thời gian đi từ A đến B là:$$ (giờ)

quãng đường AB là: $$ km (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

$$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian dự định ban đầu là 8(giờ) 

Quãng đường AB dài $$ (km)

Bài 2. 

Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h và khoảng cách AB = 195km. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi vận tốc ô tô là  x (km/h) (x>0).

Gọi vận tốc xe máy là  y (km/h) (y>0).

Vì vận tốc ô tô hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên ta có phương trình: x – y = 10 

Thời gian ô tô đã đi cho đến lúc gặp xe máy là: 8 – 6 = 2(giờ).

Thời gian xe máy đã đi cho đến lúc gặp ô tô là: 2 - $$ = $$ (giờ)

Quãng đường ô tô chạy trong 2 giờ là 2x(km).

Quãng đường xe máy chạy trong $$ giờ là $$ (km).

Vì quãng đường AB dài 195km nên ta có phương trình

2x+$$y=195 

Do đó ta có hệ hai phương trình :

Giải hệ này ta được x = 60; y = 50 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc ô tô là 60 km/h

Vận tốc xe máy là 50 km/h.

Bài 3.

Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645 km.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. Khi đó, x>0 và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h).

Theo giả thiết, ta có phương trình:

$$ + $$ = $$

Giải phương trình ta được: x =−23 (loại vì>0) và x = 45>0.

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h 

Vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h

Dạng 3: Toán làm chung công việc

Bài 1.

Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đó may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?

Lời giải:

Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là X bộ (x nguyên dương).

Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là $$

Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là x+5

Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là $$

Theo giả thiết ta có phương trình

$$ - $$ = 1

⇔ $$ 

⇔ $$

Giải PT ta được x=35, x=–40 (loại)

Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ

Bài 2

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Lời giải: 

Gọi thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch là x ngày (x > 1)

Theo kế hoạch: 

• Số hàng mỗi đội phải chở là 140 tấn
• Mỗi ngày đội xe chở được $$ (tấn hàng)

Thực tế

Số hàng mà đội phải chở là 140 + 10 = 150 (tấn hàng)

Số ngày mà đội xe chở hết số hàng là x − 1 (ngày)

Mỗi ngày đội xe chở được 150/x-1(tấn hàng)

Vì thực tế mỗi ngày đội chở được nhiều hơn kế hoạch là 5 tấn nến ta có phương trình:

$$ - $$ = 5

Giải phương trình ta được 2 = 7 hoặc x=- –4 (loại)

Vậy, theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày. 

Bài 3

Hai người cùng làm chung một công việc trong $$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành xong công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì làm trong bao lâu để xong công việc( biết rằng mỗi giờ người thứ nhất làm được khối lượng công việc là như nhau và mỗi giờ người thứ hai làm được khối lượng công việc là như nhau)

Lời giải:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ), x > 0

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $$ công việc

Trong 1 giờ người thứ hai làm được $$ công việc

Trong 1 giờ cả hai người làm được 5/12 công việc nên ta có phương trình:

$$ + $$ = $$

⇔ $$

⇔ $$

⇔ $$

⇔ $$ hoặc $$ ( < 0 (loại)

Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 4 giờ

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6 giờ

Dạng 4: Toán phần trăm

Bài 1.

Trong tháng 1 hai tổ làm được 900 sản phẩm sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức 15% tổ 2 vượt mức 10% vì vậy 2 tổ làm được 1010 sản phẩm.Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm.

Lời giải: 

Số sản phẩm tổ 1 làm trong tháng đầu là x đ/k x thuộc N*

Vậy số sản phẩm tổ 2 làm trong tháng 1 là 900-x

Sang tháng 2 tổ 1 làm 1,15

Tổ 2 làm được $$ tháng 2 cả hai tổ làm được 1010 ta có PT 

Vậy, tháng 1 tổ 1 làm được 400 sản phẩm; tổ 2 làm được 500 sản phẩm

Bài 2. 

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?

Lời giải:

Gọi x là số chi tiết máy tổ I làm được trong tháng giêng ( x > 0, x thuộc N*)

Gọi y là số chi tiết máy tổ II làm được trong tháng giêng ( y > 0, y thuộc N*)

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy nên ta có phương trình 

$$ (1)

Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15% nên sản xuất được 1,15x ( chi tiết)

Trong tháng hai, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 1,12y ( chi tiết)

Vì tháng hai cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết nên ta có phương trình

$$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy tháng giêng tổ I sản xuất được 420 chi tiết, tổ II sản xuất được 300 chi tiết

Bài 3. 

Năm 2021, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 000 000 người. Năm 2022 tổng số dân của cả hai tỉnh là 4045000 người biết số dân tỉnh A tăng 1,2%, số dân tỉnh B tăng 1,1%. Tính số dân mỗi tỉnh năm 2021, năm 2022.

Lời giải:

Gọi số dân năm 2021 của tỉnh A là x (người) \left( {x thuộc N*,x < 4000000)

=> Số dân năm 2021 tỉnh B là $$ (người)

Số dân năm 2022 tỉnh A là $$ (người)

Số dân năm 2022 tỉnh B là $$ (người)

Thoe bài ra ta có phương trình:

=> x = 1000000 (thỏa mãn)

Vậy năm 2021 số dân tỉnh A là 1000000 người, số dân tỉnh B là 3000000 người

Năm 2022 số dân tỉnh A là 1012000, số dân tỉnh B là 3033000 người.

Dạng 5: Toán có nội dung hình học

Bài 1.

Cạnh huyền của tam giác vuông ABC dài là 25m (AB<AC). Nếu cạnh AB bớt 5m và cạnh AC tăng 4m thì cạnh huyền tăng 1m. Tính cạnh AB,AC

Lời giải:

Gọi cạnh AB là x (m); cạnh AC là y (m) ( x,y>0)

Theo định lý pi ta go ta có

Sau khi tăng và giảm các cạnh ta có $$

Giải ra ta có AB=15m;AC=20m

Bài 2.

Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 7m và có độ dài đường chéo là 17m. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật đó ?

Lời giải:

Gọi chiều rộng là x(m) (x>0)

Thì chiều dài là $$

Theo định lý pi ta go ta có:

Giải PT ta được x=8 

=> chiều dài hình chữ nhật là: 8 + 7 = 15

Vậy, chu vi hình chữ nhật đã cho là: (8+15)x2 = 46cm

Diện tích hình chữ nhật đã cho là: 8.15 = 120cm²

Bài 3.

Một tam giác vuông có chu vi là 60m và có cạnh huyền là 25m . Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x,y (m) (x,y>0)

Độ dài 2 cạnh góc vuông là 60-25 =35 

Ta có $$

Theo định lý pi ta go ta có $$

Giải PT ta được x=15 và y=20

Vậy, độ dài 2 cạnh còn lại của tam giác vuông đã cho là: 15m, và 20m

Dạng 6: Toán liên quan đến Lý – Hóa

Bài 1.

Pha 2 lít nước sôi ($$) và 3 lít nước lạnh ($$) thì được hỗn hợp nước có nhiệt độ bao nhiêu?

Lời giải:

1 lít nước = 1kg nước

Gọi nhiệt độ của hỗn hợp nước là $$ (20 < x < 100)

Nhiệt lượng tỏa ra của nước là: $$ = 2(100 – x)

Nhiệt lượng thu vào của nước là: $$ = 3(x - 20)

Vì Qthu = Qtỏa nên ta có phương trình: 

⇔ $$

⇔ $$

⇔ $$ (Thỏa mã ĐKYC)

Vậy nhiệt độ của hỗn hợp nước là $$

Bài 2

Khi thêm 200g axit vào dung dịch A được dung dịch B có nồng độ axit là 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch B được dung dịch C có nồng độ axit là 40%. Tính nồng độ axit trong dung dịch A

Lời giải:

Gọi khối lượng axit và nước trong dung dịch A lần lượt là x(g) và y(g) (Điều kiện: x > 0, y > 0)

Trong dung dịch B khối lượng chất tan là $$, khối lượng dung dịch là $$

Nồng độ axit trong dung dịch B là 50% nên ta có phương trình:

Trong dung dịch C khối lượng chất tan là: $$, khối lượng dung dịch là: $$ 

Nồng độ axit trong dung dịch C là 40% nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$ và $$

$$ (thỏa mãn)

Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là: 400/(400+600).100% = 40%  

Bài 3.

Biết rằng m kg nước giảm xuống tức thì tỏa ra nhiệt lượng .q=mt Kcal .Hỏi phải dùng bao nhiêu lít nước sôi ở 100°C và bao nhiêu lít nước ở 20°C để được hỗn hợp nước 40°C

Lời giải:

Gọi khối lượng nước ở 100°C là $$, ($$>0)

Khối lượng nước ở 20°C là $$ ($$ >0)

Theo bài ra ta có PT (1)

Nhiệt lượng tỏa ra từ 100°c xuống 40°C là $$ (1)

Nhiệt lượng thu vào từ 20°c đến 40°C là $$

Theo PT cân bằng nhiệt ta có $$

Thay vào ta có $$ thay vào (1) ta được $$ lít

Vậy khối lượng nước ở 100°C là 25 lít

Khối lượng nước ở 20°C là 75 lít

Dạng 7: Các dạng đề liên quan đến chảy chung, chảy riêng của vòi nước

Bài 1.

Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi nước khác chảy từ

bể ra mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng $$ lượng nước chảy vào sau 5h giờ nước đạt tới $$ dung tích của bể .Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu thì đầy bể?

Lời giải:

Gọi thời gian vòi nước chảy đầy bể là x(giờ)

Khi đó vòi đó 1h chảy được là $$ bể

Một vòi khác chảy ra lượng nước bằng $$x bể

Theo đề bài ta có PT:

($$ - $$x).5 =$$

=> x=8 

Vậy để thời gian vòi chảy đầy bể là 8 giờ

Bài 2.

Có hai máy bơm bơm nước vào bể .Nếu hai máy bơm cùng bơm sau 2h55 phút đầy bể.Nếu mỗi máy bơm riêng thì thời gian máy 1 bơm đầy bể ít hơn thời gian máy 2 bơm đầy bể là 2h. Hỏi mỗi máy bơm riêng thì trong bao lâu thì đầy bể ?

Lời giải:

Gọi thời gian máy 1 bơm đầy bể là x (h) (x>0)

Thời gian máy 2 bơm đầy bể là x+2 theo bài ra ta có PT

$$ +$$ =$$

=> x = 5

Vậy, thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 5 giờ, vòi 2 chảy một mình đầy bể là 7 giờ. 

Bài 3.

Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào một bể chứa 50 $$ trong một thời gian nhất định .Do người công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm $$ .Nên đã bơm đầy bể sớm hơn dự định là 1h 40 phút .Hãy tính công suất của máy bơm theo kế hoạch ?

Lời giải:

Gọi năng suất của máy bơm theo kế hoạch là x ($$/h) (x>0)

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là $$

Thời gian sau khi tăng thêm 1m³ là $$+5

Theo đề bài đã cho ta có PT:

$$ - $$ = $$

=> x= 10

Vậy năng suất theo kế hoạch là 10m³

Trên đây là tổng một số bài tập có đáp án về kiến thức giải bài toán bằng cách lập phương trình. Các em hãy tham khảo và áp dụng vào để giải các bài tập tương tự nhé!

Chúc các bạn đạt điểm 10 môn Toán!