Sử dụng công thức phương trình đường thẳng thách thức 4 dạng bài tập liên quan!

Các kiến thức về phương trình đường tròn đã được Admin chia sẻ trong bài viết trước đó. Các em có thể ôn tập lại các kiến thức liên quan trong bài viết sau: Hệ thống lại từ A - Z kiến thức về phương trình đường thẳng!

Bây giờ, hãy cùng vận dụng những kiến thức này để làm những dạng bài tập trong bài viết dưới đây nhé!

Dạng bài tập này cơ bản thường sẽ xuất hiện trong phần các câu hỏi cơ bản. Để giải bài tập viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ các em thực hiện các bước như sau:

Tìm vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right)$của đường thẳng ∆
Tìm một điểm M_o(x_o; y_o) thuộc ∆
Phương trình tham số của ∆ là

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x={{x}_{o}}+t{{u}_{1}} \\y={{y}_{o}}+t{{u}_{2}} \\\end{array} \right.$

Lưu ý:

Nếu ∆ có hệ số góc k thì ∆ có vectơ chỉ phương u = (1;k)
Nếu ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)$thì ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( -b;a \right)$ hoặc $\overrightarrow{u}=\left( b;-a \right)$

Bài tập minh hoạ

1. Cho điểm A (1, 2) và điểm B (-3, -2). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải

$\overrightarrow{AB}=\left( -4;4 \right)$

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{u}=\left( 1;1 \right)$

Đường thẳng AB đi qua điểm A, nhận véc tơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;1 \right)$làm véc tơ chỉ phương, có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}& x=1+t \\ y=2+t \\ \end{array} \right.$

Tham khảo thêm:

Cho điểm A (1, 0) và điểm B (3, 4). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Cho điểm C (-2, 3) và điểm D (2, -1). Viết phương trình tham số của đường thẳng CD.
Cho điểm E (0, 4) và điểm F (-4, -2). Viết phương trình tham số của đường thẳng EF.
Cho điểm G (-3, -2) và điểm H (1, 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng GH.
Cho điểm I (4, -3) và điểm J (-4, 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng IJ.

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( a;b \right)$ của đường thẳng ∆
Tìm một điểm M_o(x_o; y_o) thuộc ∆
Viết phương trình A theo công thức: $a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0$
Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Lưu ý:

Nếu đường thẳng ∆₁ song song đường thẳng ∆₂ : ax + by + c = 0 thì ∆₁ có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0 (c’ khác c)
Nếu đường thẳng ∆₁ vuông góc có với đường thẳng ∆₂: ax + by + c = 0 thì ∆₁ có phương trình tổng quát là: -bx + ay + c’ = 0

Bài tập minh hoạ

1. Cho điểm A(1,2) và B(3,4). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua hai điểm A và B.

Lời giải

$\overrightarrow{AB}\left( 2;2 \right)$

Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)$

Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ và có véc tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:$1\left( x-1 \right)-1\left( y-2 \right)=0$

Hay $x-y+1=0$

2. Cho điểm A(0,4) và B(4,8). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua hai điểm A và B.

Lời giải

$\overrightarrow{AB}\left( 4;4 \right)$

Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)$

Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left( 0;4 \right)$ và có véc tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}\left( 1;-1 \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:$1\left( x-0 \right)-1\left( y-4 \right)=0$

Hay $x-y+4=0$

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0;\,\,{{\Delta }_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$., ta xét các trường hợp sau:

${{\Delta }_{1}}\text{ }$cắt ${{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}$

${{\Delta }_{1}}//{{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}\ne \frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$

${{D}_{1}}\equiv {{D}_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{c}_{1}}}{{{c}_{2}}}$

Tọa độ giao điểm $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\ {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \\ \end{array} \right.$

Góc giữa 2 đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được tính bởi công thức:

$\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{\left|a_1 a_2+b_1 b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Bài tập minh hoạ

1. Tìm $m$ để hai đường thẳng $y=(m+1) x-5$ và $y=(2 m-1) x+3$ :

a) Song song

b) Vuông góc.

* Lời giải:

a) $y=(m+1) x-5$ và $y=(2 m-1) x+3$ song song

$\Leftrightarrow m+1=2 m-1$

$\Leftrightarrow \mathrm{m}=2$.

Vậy $m=2$.

b) $y=(m+1) x-5$ và $y=(2 m-1) x+3$ vuông góc

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow(m+1)(2 m-1)=-1 \\ & \Leftrightarrow 2 m^2+m-1=-1 \\ & \Leftrightarrow 2 m^2+m=0 \\ & \Leftrightarrow m(2 m+1)=0 \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0 \\ 2 m+1=0\end{array}\right. \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0 \\ m=\frac{-1}{2}\end{array}\right.\end{aligned}$

Vậy với $m=0$ hoặc $m=\frac{-1}{2}$ thì hai đường thẳng trên vuông góc.

2. Tìm đường thẳng song song với đường thẳng $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+2$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là $(\mathrm{d}): \mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$.

Vì (d) song song với đường thẳng $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+2 \Rightarrow \mathrm{a}=3$.

Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 (tức $x=0$ và $y=5) \Rightarrow b=5$.

Vậy đường thẳng cần tìm là $y=3 x+5$.

3. Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+1$ và đi qua $\mathrm{A}(2 ; 1)$.

Lời giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là $\left( d' \right):y=kx+m$

Vì (d') vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+1$

$\Rightarrow k\cdot \frac{1}{2}=-1\Rightarrow k=-2$

khi đó (d') có dạng: $y=-2 x+m$

Vì (d') đi qua $A(2 ; 1)$ nên ta có: $1=-2.2+m \Rightarrow m=5$.

Vậy đường thẳng cần tìm là $y=-2 x+5$.

Để tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}(\mathrm{x} ; \mathrm{y})$ đến đường thẳng $\Delta: \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$, ta dùng công thức:

$d\left(M_o, \Delta\right)=\frac{\left|a x_o+b y_o+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Bài tập minh hoạ

1. Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}(1 ;-1)$ đến đường thẳng $(\mathrm{a}): 3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-21=0$ là:

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $(\mathrm{a})$

$d(M;a)=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-1)-21|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{14}{5}$

2. Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{O}$ đến đường thẳng $\text{d}:\frac{x}{6}+\frac{y}{8}=1$

Đường thẳng $\text{d}:\frac{x}{6}+\frac{y}{8}=1\Leftrightarrow 8\text{x}+6\text{y}-48=0$

$\Rightarrow$ Khoảng cách từ điểm $\mathrm{O}$ đến đường thẳng $\mathrm{d}$

$d(O ; d)$

$d(O;d)=\frac{|8.0+6.0-48|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\frac{48}{10}=4,8$

3. Tính khoảng cách từ điểm $\mathrm{M}(2 ; 0)$ đến đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t \\ y=2+4 t\end{array}\right.$

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

$\left\{ \begin{matrix}\text{ qua A( }1;2) \\\operatorname{VTCP}\vec{u}(3;4)\text{ }\Rightarrow \text{ VTPT }\vec{n}(4;-3) \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow$ Phương trình $(d): 4(x-1)-3(y-2)=0$ hay $4 x-3 y+2=0$

+ Khoảng cách từ điểm $M$ đến $d$ là:

$d(M ; d)$

$d(M;d)=\frac{4.2-3.0+2}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{10}{5}=2$

Trên đây là những dạng bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng. Ngoài ra, còn một số các dạng bài tập nâng cao có lời giải khác. Các em hãy cố gắng ghi nhớ toàn bộ công thức được Admin chia sẻ để đạt điểm tối đa trong phần câu hỏi về phương trình đường thẳng nhé!