Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Hà Nội năm 2023 - 2024 (Chính thức)

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán - Hà Nội năm 2023 - 2024 (Chính thức)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO   KỲ THI TUYỀN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI   NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC   Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi: 12/6/2023 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm) I) Giải phương trình   $\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-7}=2x-8.$ 2) Cho   $a,b$   và   $C$   là các số thực khác   $◻$   thỏa mãn điều kiện   $a^2-c^2=c,c^2-b^2=b$   và   $b^2-a^2=a.$ Chứng minh   $(a-b)(b-c)(c-a)=1.$ Câu 1I (2,0 điểm) 1) Chhoba số nguyên a, và c hỏỏa mã   $a^2+b^2+c^2-·$   2abc chia hết cho 6. Chứng minh abc chia hết cho 54. 2) Tìm tất cả cặp số nguyên dương   $(x,y)$   thỏa măn   $x^{3}y-x^{2}y-4x^2+5xy-y^2=0.$ Câu 11I (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên   $(x,y)$   sao cho ay là số chính phương và   $x^2+xy+y^2$   là số nguyên tố. 2) Với các số thực không âm a,b và c thỏa mãn   $a+2b+3c=1.$   tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   $P=(a+6b+6c)(a+b+c).$ Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn   $(AB<AC).$   nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, EE v CF của tam giác ABO cùng đi qua điểm H. Đường thẳng EFcắt đường thẳng AD tại điểm ..GGi MM   CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm . Và / lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC và AH. Đường thẳng 1M cắt đường thẳgg EP tti điểm K. }) Chứng minh tam giác AEK đồng dạng với tam giác AABM 2) Đường thẳng EJ' cắt đường thẳng BỞ tại điểm S, đường thẳng ST cắt đường thẳng MQ tai điể T. Chứng minh bốn điểm A,T, H và MM cnn thuộc một đường tròn.   cùng thuộc một đường tròn. 3) Tia TH cắt đường tròn   $(O)$   tại điểm   $P$   Chứng minh ba điểm A,K và P là ba điim thẳng hàng. Câu V (1,0 điểm) Cho 2023 điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1. Một tam giác đều được gọi là ph điểm MM nn điếm M nằm trong tam giác hoặc ằằm rên cạnn ccủattmm giác 1) Chứng minh tồn tạitam giác đều cạnh   $\frac{1}{\sqrt{2}}$   phủ ít nhất 253 điểm trong 2023 điểm đã cho. 2) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh   $\frac{11}{12}$ phủ ít nhất 506 điểm trong 2023 điểm đã cho. -...-............... HếT .................... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh.