Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán - Trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội năm 2023 (Chính thức)

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán - Trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội năm 2023 (Chính thức)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO   CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẶM HÀ NỘI   Độc lập - Tự do - Hạnh phúc   Độc lậ ĐÈ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2023 Môn thi: TOÁN (Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường THPT chuyên Đại học Sư phạm) Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{x^2+8\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+4}+\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{16-4x}{\sqrt{x}+2}$   với   $(x>0.$ b) Một khay nước có nhiệt độ 125°F khi bắt đầu cho vào tủ đá. Ở trong tủ đá, cứ sau mỗi giờ, nhiệt độ của khay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độ của khay nước chỉ còn là 649F? Bài 2. (3,0 điểm) a) Cho phương trình   $x^2-(2m-1)x-(m^2+1)=0(1)$   (m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm xi. x2, Tìm hệ thức liên hệ giữa   $(x_1,x_2$   sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m. b) Cho parabol   $(P):y=a{x}^2(a\ne 0)$   đi qua điểm   $A(-1;\frac{1}{2}).$   Tìm tọa độ của điểm M trên parabol (P) sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm M đến trục hoành. Bài 3. (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có   $\widehat{ABC}={120}^0$   và   $BC=2AB.$   Dựng đường tròn (O) có đường kính AC: Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB, AD với đường tròn (O). Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng BC, BD tại H, S. Chứng minh a) Tam giác ABD là tam giác vuông. b) Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp. c) SC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 4. (1,0 điểm) Có hay không các số nguyên a, b sao cho $$(a+b\sqrt{2023}{)}^2=2024+2023\sqrt{2023}?$$ Bài 5. (1,0 điểm) TTêê bảng ta viết đa thức   $P(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0).$ Ta viết lên bảng đa thức mới   $P_1(x)=\frac{P(x+1)+P(x-1)}{2}$   rồi xóa đi đa thức   $P(x).$ Ta viết lên bảng đa thức mới   $P_2(x)=\frac{P_1(x+1)+P_1(x-1)}{2}$   rồi xóa đi đa thức   $P_1(x).$ Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiều lần. Chứng minh rằng nếu cứ làm như vậy nhiều lần thì đến một lúc nào đó ta nhận được một da thức không có nghiệm. ----------------------Hết---------------------- Ghi chú: Học sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: .......................................... Số báo danh: ...........................