Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Hỏi trọng tâm của tam giác \(ABC\) biểu diễn số phức nào?

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trọng tâm tam giác, từ đó suy ra số phức cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử z₁=a₁+b₁ i => A(a₁;b₁)

z₂=a₂+b₂ i=>B(a₂;b₂)

z₃=a₃+b₃ i=>C(a₃;b₃)

Suy ra trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}\end{array} \right.\)

Lại có \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left( {{a_1} + {b_1}i + {a_2} + {b_2}i + {a_3} + {b_3}i} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2} + {b_3}} \right)i} \right]\)

\( = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} + \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}i\)

Do đó điểm \(G\) biểu diễn số phức \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\)

Cách khác:

Trong mặt phẳng phức gốc \(O, G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Vậy \(G\) biểu diễn số phức \({1 \over 3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) vì \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \),\(\overrightarrow {OC} \) theo thứ tự biểu diễn \({z_1},{z_2},{z_3}\).

LG b

Xét ba điểm \(A, B, C\) của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\).

Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)

Phương pháp giải:

Tam giác đều có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\\
\Leftrightarrow \sqrt {a_1^2 + b_1^2} = \sqrt {a_2^2 + b_2^2} = \sqrt {a_3^2 + b_3^2} \\
\Leftrightarrow OA = OB = OC
\end{array}\)

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm \(G\) của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là \(G \equiv O\) hay:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} = 0\\
\frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_1} + {a_2} + {a_3} = 0\\
{b_1} + {b_2} + {b_3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Ôn tập chương IV - Số phức

Bài tập trắc nghiệm khách quan - Chương IV. Số phức - Toán 12 Nâng cao

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024