Bài 15 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Hỏi trọng tâm của tam giác \(ABC\) biểu diễn số phức nào?

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trọng tâm tam giác, từ đó suy ra số phức cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử z₁=a₁+b₁ i => A(a₁;b₁)

z₂=a₂+b₂ i=>B(a₂;b₂)

z₃=a₃+b₃ i=>C(a₃;b₃)

Suy ra trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}\end{array} \right.\)

Lại có \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left( {{a_1} + {b_1}i + {a_2} + {b_2}i + {a_3} + {b_3}i} \right)\) \( = \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2} + {b_3}} \right)i} \right]\)

\( = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} + \dfrac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3}i\)

Do đó điểm \(G\) biểu diễn số phức \(\dfrac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\)

Cách khác:

Trong mặt phẳng phức gốc \(O, G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {OG}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Vậy \(G\) biểu diễn số phức \({1 \over 3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\) vì \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \),\(\overrightarrow {OC} \) theo thứ tự biểu diễn \({z_1},{z_2},{z_3}\).

Xét ba điểm \(A, B, C\) của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\).

Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)

Phương pháp giải:

Tam giác đều có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\\
\Leftrightarrow \sqrt {a_1^2 + b_1^2} = \sqrt {a_2^2 + b_2^2} = \sqrt {a_3^2 + b_3^2} \\
\Leftrightarrow OA = OB = OC
\end{array}\)

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm \(G\) của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là \(G \equiv O\) hay:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3}}}{3} = 0\\
\frac{{{b_1} + {b_2} + {b_3}}}{3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_1} + {a_2} + {a_3} = 0\\
{b_1} + {b_2} + {b_3} = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow  {z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)